Paquetes de líneas de torsión con cohomología no desaparecida en superficies de ACM lisas

Question

Estoy buscando un ejemplo de una superficie lisa $X$ con un fijo muy amplias $\mathcal O_X(1)$ tal que $H^1(\mathcal O(k))=0$ para todos los $k$ (tal cosa se llama un ACM de la superficie, creo) y un nivel global generado línea bundle $L$ tal que $L$ es de torsión en $Pic(X)$ e $H^1(L) \neq 0$.

¿La superficie de existir? ¿Cómo puedo construir uno si no existe? ¿Qué pasa si uno pide incluso más bonito de la superficie, tales como aritméticamente Gorenstein? Si no, entonces estoy dispuesto a soltar suave o generado a nivel mundial, pero que le gustaría mantener la condición de torsión.

Más motivaciones(gracias Andrés): una línea de paquete daría un cíclica de la cubierta de $X$ que no está de ACM, que podría ser de interés para mí. Supongo que uno puede pensar en esto como un contador especial de ejemplo a los más débiles (CM) versión de la pureza de la rama de locus.

Al mejor de mi conocimiento, esta no es una tarea pregunta (: Pero yo no sé mucho de la geometría, por lo que puede ser alguno me puede decir donde encontrar una respuesta. Gracias.

EDIT: se eliminó la generación mundial de la condición, por Dmitri respuesta. Me di cuenta de que realmente no necesita mucho.

Answer 1

Vamos a mostrar que un globaly genera torsión de la línea de paquete de $L$ en un (compacto) de superficie compleja es trivial. Ideed, un mundo generado línea bundle tiene al menos una sección, decir $s$. Tomemos de ella. Si $s$ no tiene ceros, a continuación, $L$ es trivial. Pero si $s$ desaparece en algún lugar, a continuación, cualquier potencia positiva $L^n$ tiene una sección de $s^n$ que se desvanece en los mismos puntos. Por lo que cualquier potencia de $L$ no es trivial, es decir, $L$ no es un paquete de torsión, la contradicción.

Aviso que no usamos el hecho de que la superficie es lisa. Y nosotros también no utilizar el hecho de que trabajamos con una superficie...