Martingala medida

Question

Estoy atascado con un ejercicio aquí. Así que hay una caminata al azar en los enteros, con una probabilidad de 0.5 de ir a la izquierda o a la derecha, es decir, $P[X_i=1]=P[X_i=-1]=1/2$ e $S_n=X_1+...+X_n$. para un número real $c$, conjunto

$M_n=e^{cS_n}(\frac{2}{e^c+e^{-c}})$ y muestran que $M_n$ es una martingala.

¿Qué significa eso? ¿Tengo que mostrar que tenemos una medida martingala, es decir, algunos neutrales al riesgo probabilidad de que la suma de hasta 1? Tendría que ser $\sum_{n \in \mathbb{Z}} M_n=1$? No veo cómo aplicar la definición en esto, si incluso estoy tomando la definición de aquí. Por favor alguien puede explicar a mí lo que me tiene que hacer?

Answer 1

En lugar de $$M_n = e^{c \cdot S_n} \cdot \left( \frac{2}{e^c+e^{-c}} \right)$$ it should read $$M_n = e^{c \cdot S_n} \cdot \left( \frac{2}{e^c+e^{-c}} \right)^{\color{red}{n}}$$ Otherwise, $(M_n)_n$ es no una martingala (con respeto a los procesos naturales de filtración).

Denotar por $\mathcal{F}_n$ la filtración natural, es decir,$\mathcal{F}_n = \sigma(X_1,\ldots,X_n)$.

• Obviamente, $M_n$ es $\mathcal{F}_n$ medibles para todos los $n \in \mathbb{N}$ e $M_n \in L^1$.
• Para $n \in \mathbb{N}$, tenemos $$\begin{align} \mathbb{E}(M_n \mid \mathcal{F}_{n-1}) &= \left(\frac{2}{e^c+e^{-c}} \right)^n \cdot e^{c \cdot S_{n-1}} \cdot \mathbb{E}(e^{c \cdot X_n} \mid \mathcal{F}_{n-1}) \\ &=\left(\frac{2}{e^c+e^{-c}} \right)^n \cdot e^{c \cdot S_{n-1}} \cdot \mathbb{E}(e^{c \cdot X_n}) \tag{1} \end{align}$$ where we used the independence of the random variables in the last step. Moreover, $$\mathbb{E}(e^{c \cdot X_n}) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^c + e^{-c} \right) \tag{2}$$ since $X_n \sim \frac{1}{2} (\delta_1+\delta_{-1})$. Thus, $$\mathbb{E}(M_n \mid \mathcal{F}_{n-1}) \stackrel{(1)}{=}\left(\frac{2}{e^c+e^{-c}} \right)^n \cdot e^{c \cdot S_{n-1}} \cdot \mathbb{E}(e^{c \cdot X_n}) \stackrel{(2)}{=} \left(\frac{2}{e^c+e^{-c}} \right)^{n-1} \cdot e^{c \cdot S_{n-1}} = M_{n-1}$$