Número de maneras para distribuir 10 cosas entre 6 personas, dado que el número de cosas que da a dos personas que no exceda de 4?

Question

Aquí es más una cuestión específica:

Hallar el número de maneras de dar a $10$ idénticas de cajas de regalo para 6 la gente : $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ de tal manera que el número total de darse las cajas de a $A$ e $B$ juntos no exceda el $4$.

Actualmente estoy aprendiendo acerca de los problemas que están relacionados con las Combinaciones con las Repeticiones, la mayor parte de lo que soy capaz de resolver las preguntas básicas, pero esta sacado de mí.

Puede sugerir la forma de abordar este problema?

Answer 1

Vamos $x_A$, $x_B$, $x_C$, $x_D$, $x_E$, y $x_F$ representan el número de cajas de regalo dado a las personas $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, y $F$, respectivamente. Desde un total de diez cajas se distribuyen a estas seis personas, $$x_A + x_B + x_C + x_D + x_E + x_F = 10 \tag{1}$$ Desde $A$ e $B$ junto recibir a más de cuatro de estos dones, debemos resolver la ecuación 1 en los números enteros no negativos sujetos a la restricción de que el $x_A + x_B \leq 4$.

Esto puede ser solucionado por el trabajo de casos. Si $$x_A + x_B = k \tag{2}$$ entonces, por la ecuación 1 para estar satisfechos, debemos tener $$x_C + x_D + x_E + x_F = 10 - k \tag{3}$$ para $0 \leq k \leq 4$.

Una solución particular de la ecuación $$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = m \tag{4}$$ en los números enteros no negativos corresponde a la ubicación de $n - 1$, además de los signos en una fila de $m$ queridos. Por ejemplo, si $m = 10$ e $n = 5$, $$1 + + 1 1 1 + 1 1 + 1 1 1 1$$ corresponde a la solución $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$, $x_4 = 2$, $x_5 = 4$. En consecuencia, el número de soluciones de la ecuación (4) en los números enteros no negativos es $$\binom{m + n - 1}{n - 1}$$ ya que debemos elegir de qué $n - 1$ de la $m + n - 1$ posiciones necesario para $m$ queridos y $n - 1$, además de los signos será llenado con la adición de signos.

Por lo tanto, la ecuación 2 ha $$\binom{k + 2 - 1}{2 - 1} = \binom{k + 1}{1} = k + 1$$ y soluciones de la ecuación 3 ha $$\binom{10 - k + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{13 - k}{3}$$ soluciones en los números enteros no negativos. Por lo tanto, cuando se $x_A + x_B = k$ e $x_C + x_D + x_E + x_F = 10 - k$, el número de soluciones de la ecuación 1 es $$(k + 1)\binom{13 - k}{3}$$

Desde $0 \leq k \leq 4$, el número de formas de distribución de los diez regalos para las personas $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, y $F$, de modo que $A$ e $B$ conjunto reciben en la mayoría de las $4$ de los regalos que se $$\sum_{k = 0}^{4} (k + 1)\binom{13 - k}{3} = \binom{13}{3} + 2\binom{12}{3} + 3\binom{11}{3} + 4\binom{10}{3} + 5\binom{9}{3}$$

Answer 2

De momento, supongamos que tenemos un suministro ilimitado de cajas para ser distribuido a $6$ de los individuos, mediante el cual el primero de los dos juntos pueden obtener no más de $4$ cajas. En la generación de funciones de enfoque combinado de las asignaciones a a, B y, a continuación, se cuentan como $$1+2x+3x^2+4x^3+5x^4={1-6x^5+5x^6\over(1-x)^2}\ ,$$ y las asignaciones a los restantes cuatro personas como $$(1+x+x^2+x^3+\ldots)^4={1\over(1-x)^4}\ .$$ La generación de la función para la plena problema se convierte entonces en $$\eqalign{F(x)&={1-6x^5+5x^6\over(1-x)^6}=(1-6x^5+5x^6)\sum_{k\geq 0}{-6\choose k}(-x)^k\cr &=(1-6x^5+5x^6)\sum_{k\geq0}{5+k\choose k}x^k\ .\cr}$$ Ahora tenemos que extraer el coeficiente de $x^{10}$ en esta expansión: $$N={15\choose10}-6{10\choose5}+5{9\choose4}=2121\ .$$

Answer 3

El problema puede expresarse de otra manera, preguntando a cada pueblo tiene al menos un don. El nuevo número de regalos podrían ser 16 y el a+B condición, 6.

Vamos a colocar el 16 de regalos en una fila. Hay 15 espacios entre ellos en el que tenemos que colocar 5 delimitadores. En general, g regalos puede ser distribuido a p personas en $\binom {g-1} {p-1}$ maneras.

El a+B condición significa que el segundo delimitador tiene que estar en la 2 ª, 3 ª, 4 ª, 5 ª o la 6 ª espacio. El resto de los cuatro delimitadores pueden ser colocados de la siguiente manera :

$\binom{1}{1}\binom{13}{3} + \binom{2}{1}\binom{12}{3} + \binom{3}{1}\binom{11}{3} + \binom{4}{1} \binom{10}{3} +\binom{5}{1}\binom{9}{3} = 2121$

Answer 4

De la $10$ cajas, supongamos $r$ cajas son dados a $A$ e $b$ juntos. A continuación,$0\leq r \leq 4$. El número de maneras de dar a $r$ cajas de a $A$ e $B$ es $$ {2+r-1\choose r} = {r+1\choose r} = r+1.$$

El número de maneras en que el resto de los $(10-r)$ cajas puede ser dada a $C, D, E, F$ es $$ {4+(10-r)-1\choose 10-r} = {13-r \choose 10-r} = {13-r \choose 3}$$

En consecuencia, el número de maneras en que $r$ cajas puede ser dado o $A$ e $B$ e $(10-r)$ cajas de a $C, D, E, F$ es, por la regla del producto, $$(r+1) \times {13-r \choose 3}$$

Desde $0 \leq r \leq 4$, el número total de formas en que las cajas pueden ser dada es, por la suma de la regla, $${\sum_{r=0}^{4} (r+1) \times {13-r \choose 3} }$$

Answer 5

Redefinir las preguntas como $U = \{\text{gift in A or B}\}$ e $V$ el complemento. Yendo a la probabilidad podemos ver que $N=\{\text{fraction}\, U=n\} \in Bin(1/3,10)$ y estamos taskt para evaluar

$$ P(N <= 4) = p^10 + 10*p*q^9 + \frac{10*9}{2}p^2q^8 + \frac{10*9*8}{2*3}p^3t^7 + \frac{10*9*8*7}{2*3*4}p^4t^6, $$ with $p=1/3,p=2/3$. Now multiply by $6^{10}$ y se obtiene el número de combinaciones.