Caracterización del espacio compacto mediante una función continua

Question

Dejemos que $(X,\mathfrak{T})$ sea un espacio topológico. Sabemos que si $X$ es compacto y $f:X\to \mathbb{R}$ sea una función continua cualquiera, entonces $f(X)$ está acotado ya que la imagen continua de un conjunto compacto es compacta y cualquier subconjunto compacto de un espacio métrico está acotado.

Mis preguntas son (editadas tras el comentario de David C. Ullrich más abajo),

• ¿Cuál es la condición necesaria y/o suficiente para $(X,\mathfrak{T})$ de modo que si para cualquier continuo $f:X\to \mathbb{R}$ podemos concluir que $f(X)$ está acotado entonces implicaría que $X$ ¿es compacto?

• Dejemos que $(X,\mathfrak{T})$ sea un espacio topológico. Si toda función continua $f:X\to Y$ está acotado para todos espacio métrico $(Y,d)$ entonces podemos decir que $X$ ¿es compacto?

• Dejemos que $(X,\mathfrak{T})$ sea un espacio topológico. Si existe un espacio métrico $(Y,d)$ tal que toda función continua $f:X\to Y$ está acotado entonces podemos decir que $X$ ¿es compacto?

Answer 1

Un espacio $X$ se llama pseudocompacto cuando toda función continua de valor real sobre $X$ está acotado. Se trata de una noción bien estudiada. De hecho, un espacio compacto, o incluso un espacio contablemente compacto (toda cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita) es pseudocompacto.

Un teorema clásico: para las normales y $T_1$ espacios, contablemente compacto y compacto son equivalentes.

El ejemplo clásico de $\omega_1$ el primer ordinal incontable, es pseudocompacto (y contablemente compacto) y no compacto. Esto demuestra que no podemos dar el salto de contablemente compacto a compacto.

Podemos utilizar Lindelöf (toda cubierta tiene una subcubierta contable) como la propiedad de brecha a la compacidad. Por lo tanto, si utilizamos al menos los espacios de Tychonoff, una clase de espacios donde la pseudocompacticidad y la compacidad coinciden son los espacios de Lindelöf.

Otra clase son los espacios métricos, ya que para los espacios métricos la compacidad contable, la pseudocompacticidad y la compacidad son equivalentes.

Un espacio pseudocompacto tiene la propiedad de que todo mapa continuo hacia todo espacio métrico está acotado. Esto se deduce de la equivalencia para los espacios métricos y del hecho de que la imagen continua de un espacio pseudocompacto es pseudocompacta.

Así que $\omega_1$ es también un contraejemplo a la pregunta 2, y a fortiori también a la 3.

Answer 2

Para la segunda pregunta...

Usted considera $\mathbb{R}_d$ con topología discreta y $[0,1]$ con topología euclidiana. Si $f:\mathbb{R}_d\longrightarrow[0,1]$ es una función, entonces $f$ es continua y acotada, pero $\mathbb{R}_d$ no es compacto.

Answer 3

El primer ordinal incontable $X = \omega_1$ con su topología de orden, es un contraejemplo para la segunda pregunta (y por tanto también para la tercera). Es bien sabido que $X$ no es compacta, pero cualquier función continua $h : X \to \mathbb{R}$ está acotado (de hecho, es eventualmente constante). Ahora bien, si $(Y,d)$ es un espacio métrico cualquiera y $f : X \to Y$ es continua, fijar un punto $y_0 \in Y$ y que $g : Y \to \mathbb{R}$ sea dada por $g(y) = d(y,y_0)$ que es continua. Entonces $h = g \circ f$ es un mapa continuo desde $X$ a $\mathbb{R}$ por lo que está acotado; digamos que $h(x) \le M$ para todos $x \in X$ . Esto significa que $d(y_0, f(x)) \le M$ para todos $x \in X$ para que $f(X)$ está acotado.

Answer 4

Digamos que un espacio es RB si toda función continua de valor real está acotada.

Usted pide las condiciones necesarias y suficientes para que RB implique lo compacto. La palabra "implica" es un poco graciosa; lo que la gente suele querer decir con ella es difícil, si no imposible, de definir con precisión.

La única definición precisa de "A implica B" que conozco es "A es falso o B es verdadero". Si tomamos esto como definición de "implica", entonces la respuesta a su pregunta es que RB implica compacto si y sólo si $X$ es compacta o existe una función continua de valor real no limitada en $X$ .

Casi seguro que no es una respuesta a lo que realmente querías saber, pero posiblemente sea la mejor respuesta que va a recibir esa pregunta. (La mejor respuesta que realmente da una condición necesaria y suficiente).