¿Por qué negar el cuantificador universal da como resultado el cuantificador existencial?

Question

Negar un cuantificador universal da como resultado el cuantificador existencial, y viceversa:

$\neg \forall x = \exists x \neg \\ \neg \exists x = \forall x \neg $

¿Por qué sucede esto, y hay una prueba para ello (¿es posible probarlo, o es simplemente un axioma)? Intuitivamente, yo pensaría que negar "para todo" daría como resultado "ninguno", o incluso "no para todos", y que negar "existe" daría "no existe".

Answer 1

Las siguientes dos declaraciones son equivalentes:

"No es cierto que todos los hombres tengan el pelo rojo."

"Existe al menos un hombre que no tiene el pelo rojo."

Por lo tanto, $\neg\forall x\ \varphi$ es lo mismo que $\exists x\ \neg\varphi$.

Las siguientes son equivalentes:

"No es cierto que algunos hombres tengan el pelo verde."

"Todos los hombres tienen el pelo no verde."

Por lo tanto, $\neg \exists x\ \varphi$ es lo mismo que $\forall x\ \neg\varphi$.

Sin embargo, la forma en la que las has escrito no es correcta (como señaló el comentario de Daniel Fischer).

Answer 2

Responderé de una manera que probablemente agregará confusión, pero espero que muestre por qué este tipo de pregunta no debería considerarse demasiado obvia y fácil. Pido disculpas por adelantado.

Una pregunta que surge es "¿qué significa afirmar $\forall x (P(x))$ cuando hay x infinitos?" ¿Por qué los estudiantes hacen una pregunta tan tonta? Porque una forma de responder es decir "es un hecho que todos los x obedecen a P" o "se sabe que todos los x obedecen a P" o "se ha demostrado que P(x) para todos los x" o "para cada x podemos demostrar P(x)". Algo así es lo que muchos estudiantes tienen en mente, y cuando se trata de infinitos, cosas como saber o demostrar pueden nunca terminarse.

De manera similar, podemos preguntarnos qué significa mostrar $\exists x (P(x))$. Una forma en la que los estudiantes a menudo pensarán acerca de esto es que mostrar eso es dar un x particular que cumple con P.

Ahora, si estas son las cosas en las que el estudiante está pensando, entonces ciertamente parece razonable hacer la pregunta al OP. Incluso si podemos afirmar que "se sabe que no todos los x obedecen a P" o peor aún, que "para cada x no podemos demostrar P(x)", ¡esto no significa que hayamos dado un x particular que obedezca a P! Entonces, ¿cómo podemos afirmar la existencia aquí? ¿Qué pasa si simplemente no lo sabemos?

Por supuesto, la respuesta es que hay diferentes formas, completamente válidas, de responder a esto. Por un lado, tienes a los constructivistas que sonreirán ante estas preguntas, te darán una palmadita en el hombro y te dirán "buenas preguntas, todas" mientras te llevan por explicaciones sobre el significado de la verdad y el conocimiento accesible. Por otro lado, tienes a los clasicistas, que intentarán ayudar a este pobre estudiante a comprender que hay mucho más en la verdad que el conocimiento y la prueba, y tratarán de inculcar en ese estudiante razones por las cuales el razonamiento bivalente sobre este tipo de cosas sigue siendo importante y cómo se pueden alcanzar afirmaciones de existencia de manera no constructiva.

Estos son caminos válidos por los que uno puede caminar en la filosofía de las matemáticas. Ofrecen diferentes formas de entender el significado de las afirmaciones, y a menudo parece que ambos lados están hablando más allá uno del otro cuando a menudo hablan de cosas completamente diferentes. Un estudiante curioso podría querer familiarizarse con ambos lados y aprender las formas en que cada enfoque maneja la manipulación formal.

Un estudiante no curioso, sin embargo, probablemente solo debería aprender la regla y seguir adelante. Más allá de aquí, hay dragones.

Answer 3

Respuesta a la pregunta en el medio de la publicación: en términos de lógica formal, esto es un axioma, o para decirlo mejor, es la definición de un cuantificador en términos del otro.

Por ejemplo, uno puede tomar $\forall$ como un símbolo indefinido y luego definir $\exists x\,P(x)$ como $\neg\forall x\,(\neg P(x))$.

Entonces, desde el punto de vista estrictamente formal, no hay ninguna pregunta que responder aquí, es simplemente la definición. Por otro lado, queremos que la lógica refleje modos de razonamiento aceptados y comprendidos, por lo que ejemplos como los dados en otras respuestas y comentarios son importantes.

Answer 4

Esto ya fue observado por Aristóteles en su cuadrado de la oposición, mirando el camino contradictorio:

Pero mi pregunta es, ¿es esto una propiedad de la lógica clásica, o también tienen tales cuantificadores las lógicas no clásicas? Desafortunadamente, por ejemplo en la lógica intuicionista, solo tenemos las siguientes direcciones que son generalmente válidas:

∃x¬φ → ¬∀xφ
∀x¬φ → ¬∃xφ
¬∃xφ → ∀x¬φ

Pero esta dirección no es generalmente válida, tomada de la página de wiki sobre interdefinibilidad:

¬∀xφ → ∃x¬φ

La última fórmula podría fallar ya que para todo puede estar en un mundo posible con un dominio mayor que el existe.