Mostrar que $c(S) = \{a\in G : a\in gSg^{-1}\ \forall g\in G\}$ es normal en $G$

Question

Pregunta:

Deje $G$ ser un grupo, $S \leq G$, y definir $$c(S) := \{a\in G : a \in gSg^{-1}\ \textrm{for all}\ g\in G\}$$ Mostrar que $c(S)$ es un subgrupo normal de $G$ contenida en $S$

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Intento:

He sido capaz de demostrar que $c(S)$ es un subgrupo de $G$:

Deje $a$, $b$ $\in c(S)$. Entonces tenemos que $$un\en gSg^{-1} \implica a = gs_{1}g^{-1}\ \textrm{para algunas de}\ s_1\S \\ b\en gSg^{-1} \implica b = gs_{2}g^{-1}\ \textrm{para algunas de}\ s_2\in S$$

De continuar con el subgrupo de prueba: $$\begin{align} ab^{-1} &= \left(g s_1 g^{-1}\right)\left(g s_2 g^{-1}\right)^{-1} \\ &= g s_1 g^{-1} g {s_2}^{-1} g^{-1} \\ &= gs_1{s_2}^{-1}g^{-1} \\ &\in gSg^{-1} \end{align}$$

Por lo $c(S)\leq G$.

Estoy luchando en particular con la que muestra que $c(S)$ es normal en $G$. Hasta ahora he tratado de mostrar que $c(S)$ es cerrado bajo la conjugación de los elementos de $G$:

Deje $b\in c(S)$. Si $gbg^{-1}\in c(S)$ para todos los $g\in G$, a continuación, $c(S)\triangleleft G$:

$$\begin{align} b\in c(S) &\implies b = gsg^{-1}\ \textrm{for some}\ s\in S\textrm{, for all}\ g\in G. \\ &\implies gbg^{-1} = ggsg^{-1}g^{-1} = (gg)s(gg)^{-1} \end{align}$$

No estoy seguro de cómo proceder a partir de este punto. Yo también estoy confundido en la definición de $c(S)$ sí, definitivamente no tiene ninguna intuición en cuanto a lo que el objeto de $c(S)$ es en realidad.

Editar (En respuesta a Chrystomath del comentario):

Deje $b\in c(S)$. A continuación, $b = lhl^{-1}$ fijos $l\in G$, $h\in S$. Deje $k$ cualquier elemento de $G$: $$\begin{aligned} kbk^{-1} &= k(lhl^{-1})k^{-1} \\ &= klhl^{-1}k^{-1} \\ &= (kl)h(kl)^{-1} \\ &\in gSg^{-1} \end{aligned}$$

Escrito $g=kl\in G$.

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Mis preguntas son:

• Estaba en lo correcto en la forma en que me mostró que $c(S)\leq G$?
• ¿Cómo puedo interpretar la definición de $c(S)$?
• ¿Cómo puedo demostrar que $c(S)$ es normal en $G$?

Gracias

Answer 1

Usted ha hecho el subgrupo de prueba para $c(S)$. Considere la posibilidad de cualquier elemento en $g^{-1} c(S) g$, wlog deja de ser $h =g^{-1} g' s g'^{-1} g$, donde $s \in S$, de acuerdo a la definición de $c(S)$. Pero de ello se deduce, por definición, que $h \in c(S)$, e $c(S) \lhd G$. Sin embargo, parece que $S \subset c(S)$, y no de otra manera. He perdido de algo?