El segundo teorema de isomorfismo de las C*-Álgebras de

Question

en mi análisis funcional de la clase ahora mismo estamos estudiando los fundamentos de la C* Álgebras y recientemente se me pidió esta cuestión sobre el segundo teorema de isomorfismo para C* Álgebras, pero primero permítanme citar la definición de un C* Álgebra ismorphism:

Resumen de la caracterización de C* Álgebras de

Ahora se nos pide esto:

Sea a una C* Álgebra y $ B \subset A $ C* subalgebra de a y I un ideal. También se nos recuerda de este resultado: sabemos que B+I es un C* subalgebra de A. Nos pide el siguiente:

Vamos a mostrar el siguiente C* isomorfismo: $ B/(B \cap I) \cong (B+I)/I $

Estoy atascado en la parte b como no sé muy bien cómo mostrar un bijective limitada (continua) lineal mapa que conserva la multiplicación y la * la operación. Realmente necesito a alguien allí para mostrarme cómo encontrar y probar una C*-isomorfismo como se desee. También aquí hay un post sobre el tema aquí: suma de C*-subalgebra e ideal

Answer 1

Definir $\phi:(B+I)/I\to B/B\cap I$ por $$\phi(b+j+I)=b+B\cap I,\ \ \ \ \ b\in B,\ j\in I.$$ Por supuesto, tenemos que comprobar que este está bien definido. Si $b_1+j_1=b_2+j_2$, luego $$ b_1-b_2=j_2-j_1\in B\cap I, $$ por lo $b_1+B\cap I=b_2+B\cap I$. El mapa es, obviamente, lineal, multiplicativo, $*$-la conservación, y en.

Como para la inyectividad, si $b_1+B\cap I=b_2+B\cap I$,, a continuación,$j=b_1-b_2\in B\cap I$; por lo $$b_1+0+I=b_2+j+I.$$

Finalmente, $\phi$ es limitada porque cada $*$-homomorphism entre los C$^*$-álgebras es. De hecho, debido a que es un $*$-isomorfismo entre el C$^*$-álgebras, es isométrica.