Hay tal cosa como la integración parcial?

Question

Recientemente, en mis cursos de matemáticas que me enseñaron en derivadas parciales, y me preguntaba si por lo contrario existe para las integrales.

Esto puede sonar como una pregunta estúpida, y probablemente lo es, pero me explico:

Por el teorema fundamental del cálculo: $$ \int \frac{d}{dx}f(x)~dx = f(x) $$ Por lo que hay un operador tal que: $$ \int \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)~\partial x = f(x,y) $$ o es esta falsa?

Lo que estoy diciendo es que si las derivadas parciales de una multi-variable de la ecuación es la pendiente de la línea a lo largo de la derivada eje, hay un operador, un "parcial integral", que es el área bajo la curva a lo largo del eje integrado?

O es que sólo $\int f(x,y) ~dx$, ya que de hacerlo con más de un eje requiere de $\iint f(x,y) dx dy$?

Físicamente, esto podría deberse a la búsqueda de la componente x de la velocidad dada la función de aceleración.

También, de lo estúpido de la pregunta es esta?

Answer 1

Su parcial integral es aproximadamente el mismo que el de su regulares integral, con una salvedad. Si usted tiene, por ejemplo, $$\int \frac{d}{dx} f(x) dx$$ When you integrate this you end up with $f(x) + C$ - since this is the antiderivative of $f'(x)$, the $C$ shows up because integration only knows 'so much' - the derivative of $C$ is zero, so we don't know whether or not it's actually in $f(x)$. Similarly, when we take an integral over one variable, we get $$\int \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) dx$$ The partial 'knocks out' any functions of $y$ in $f(x,y)$; for example, if $f(x,y)=xy+y^2$, then the partial will send $y^2$ to zero. So as before, when we integrate solely with respect to $x$ of a multivariable function, we get $$\int \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) dx = f(x,y)+C(y)$$ Where $C(y)$ denotes any function of $y$. There's no way to get an integral that will 'invert' the partial operator while still knowing about $y$ - que la información se pierde cuando tomamos el parcial en el primer lugar.

Answer 2

Dicha integración es, de hecho, para ciertos propósitos, por ejemplo, cuando usted está buscando para la antiderivada(potencial) del campo de vectores: $\vec F(x,y)=(2xy,x^2)$. Entonces usted necesita para encontrar una función escalar $V(x,y)$ tal que $\frac {\partial V}{\partial x}=2xy$$\frac {\partial V}{\partial y}=x^2$. El uso indefinido de la integración, se puede encontrar $V=x^2y+C$ constante $C$.

Sin embargo, esta idea está contenida en la costumbre de una sola variable indefinida de integración: se acaba de tratar la integración de $f(x,y)$ w.r.t $x$ como la integración de la variable única función de $g_y(x):=f(x,y)$ fijos $y$. Por lo tanto, no necesitamos definir una integración parcial. Aunque la derivada parcial tiene una definición que también de esta manera, pero ese concepto es importante debido a su relación con el total de derivados.