Demostrar que si $V=X \oplus Y$,, a continuación,$X \cap Y = \{0\}$, es la escritura de $v=0+v$ e $v=v+0$ para $v \in X \cap Y$ suficiente?

Question

$V=X \oplus Y$ si todos los vectores en $V$ puede escribirse de forma única como $v=x+y$ para $x \in X$ e $y \in Y$.

Supongamos $V=X \oplus Y$. Queremos mostrar a $X \cap Y =\{0\}$. Supongamos que no. Deje $v \in X \cap Y$. A continuación, $v=v+0$ donde $v \in X$ e $0 \in Y$. También, $v=0+v$ donde $0 \in X$ e $v \in Y$. Por lo tanto, $v$ no se puede escribir de forma única.

Es esto una prueba suficiente?

Answer 1

La única cosa que falta es la especificación de que $v \ne 0$, así que en lugar de decir "Vamos a $v \in X \cap Y$" yo diría que "Recoger" un no-cero $v$ en $X \cap Y$". Aparte de eso, está bien.