¿Se puede ver una figura dentro de un círculo en ángulo recto desde cualquier punto del círculo?

Question

Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo determinado. La figura se ve desde todos los puntos de la circunferencia con un ángulo recto (es decir, los dos rayos que parten del punto y sostienen la figura convexa son perpendiculares). Demostrar que el centro de la circunferencia es un centro de simetría de la figura.

En primer lugar, ¿la pregunta se refiere a que la figura sea bidimensional? De lo contrario, ¿existen tales figuras en $3$ D (en otras palabras, si el $3$ La figura D no interseca el círculo)? En $2$ D, el único objeto de este tipo que se me ocurre es el diámetro de un círculo, pero me preguntaba si hay más.

Answer 1

Hay infinidad de figuras así.

Dejemos que $p(\theta)$ sea cualquier función periódica suave de periodo $2\pi$ . Se sabe que la condición necesaria y suficiente para que dicha función $p(\theta)$ para ser el función de apoyo de un conjunto convexo $K$ es $$p(\theta) + p''(\theta) > 0 \quad\text{ for all }\;\theta$$

El límite del conjunto convexo $K$ viene dada por la parametrización:

$$\begin{cases} x &= p(\theta)\cos\theta - p'(\theta)\sin\theta,\\ y &= p(\theta)\sin\theta + p'(\theta) \cos\theta \end{cases} $$ Si eliges una función $p(\theta)$ que satisface una restricción adicional $$p(\theta)^2 + p\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)^2 = 1$$

entonces para cada $\theta$ el par de líneas tangentes en $\theta$ y $\theta + \frac{\pi}{2}$ se cruzan en algún punto del círculo unitario. Como son perpendiculares entre sí, el ángulo subtendido por $K$ en esa intersección será un ángulo recto.

Como ejemplo, elija cualquier $\alpha \in [0,1)$ y considerar la función $\displaystyle\;p(\theta) = \sqrt{\frac{1+\alpha \cos(2\theta)}{2}}$ .
Es fácil de comprobar $\displaystyle\;p(\theta) + p''(\theta) = \frac{1-\alpha^2}{\sqrt{2}(1 + \alpha\cos(2\theta))^{3/2}} > 0$ para todos $\theta$ . Esto nos da un conjunto convexo delimitado por la curva $$\begin{cases} x(t) &= \frac{1+\alpha}{\sqrt{2}}\frac{\cos(t)}{\sqrt{1 + \alpha\cos(2\theta)}}\\ y(t) &= \frac{1-\alpha}{\sqrt{2}}\frac{\sin(t)}{\sqrt{1 + \alpha\cos(2\theta)}} \end{cases}$$ Con la ayuda de un CAS, se puede simplificar esto a la elipse $\displaystyle\;\frac{x^2}{1+\alpha} + \frac{y^2}{1-\alpha} = \frac12$ . Esto es equivalente al círculo de directores mencionado por otros en el comentario.

Para un ejemplo más complicado, se puede intentar algo como $\displaystyle p(\theta) = \sqrt{\frac{1+\beta\cos(6\theta)}{2}}$ donde $\beta \in [0,\frac{1}{17})$ en su lugar. Esto le dará una figura que parece un hexágono con el borde curvado hacia fuera.

Answer 2

Sí implica que todo está en el plano, de lo contrario no diría "figura" ni hablaría de dos rayos que la "sostienen", sería un cono en 3D. El diámetro es una buena sugerencia debido a la Teorema de Tales pero no funcionará porque la condición se viola en los extremos del diámetro. Una solución obvia es un círculo concéntrico de menor radio. Inscribe un cuadrado en el círculo original y, a continuación, inscribe el círculo más pequeño en el cuadrado. Al girar el cuadrado alrededor del círculo más pequeño se ve en $90^\circ$ ángulo desde cualquier punto del original. Por el teorema de Pitágoras el radio del círculo menor es $1/\sqrt{2}$ de los más grandes para que esto ocurra.

Esta construcción puede generalizarse. Al principio, parece que el círculo inscrito es la única figura de este tipo, pero también al principio parece que el círculo es la única curva de anchura constante cuando en realidad son infinitamente numerosos. En este caso el conjunto de puntos desde los que se ve una figura convexa compacta con un ángulo constante $\nu$ se llama su $\nu$ -isóptico. El $\pi/2$ -isóptico se llama ortóptico. La pregunta de la OP equivale a preguntar si un círculo es la única figura convexa que tiene un ortóptico circular. Según Kurusa's ¿Es un cuerpo plano convexo determinado por una isóptica?

" En 1950 Green demostró que si el $\nu$ -de un cuerpo convexo D es un círculo, entonces D debe ser un disco siempre que $1-\nu/\pi$ es un número irracional o racional con numerador par en sus términos más bajos. Si el numerador es impar, entonces hay un continuo de muchos cuerpos ni siquiera similares entre sí con ese círculo como su $\nu$ -isóptico ".

Ya que para $\nu=\pi/2$ tenemos $1-\nu/\pi=1/2$ , este es el caso de un continuo de soluciones no similares. Según Green, Ernst Strauss observó anteriormente que una familia de ellas es fácil de construir clásicamente: inscribir un rectángulo en un círculo, e inscribir una elipse en ese rectángulo con sus ejes iguales y paralelos a los lados del rectángulo. Entonces se puede demostrar que el círculo es el ortóptico de la elipse. Estas elipses interpolan entre la circunferencia inscrita descrita anteriormente, y los diámetros del círculo, que son sus límites degenerados, y "casi" ortotópicos. Green construye soluciones más generales utilizando funciones de apoyo de figuras convexas.

Answer 3

Que la circunferencia exterior dada pase por el origen. Entonces la potencia de una circunferencia desde el origen hasta una circunferencia

$ (x- h)^2 + y ^2 = R^2 $ est :

$ h^2 - R^2 = T^2$

Y el ángulo subtendido en el polo es:

$ 2 \tan^{-1} \left (\dfrac{R}{T} \right)$

Si lo anterior fuera $\pi/2,$ entonces $ R= T, h = \sqrt 2 R $

Así, en el plano el radio del lugar del círculo interior es igual a la longitud de la tangente, el círculo interior tiene radio $ R= h/ \sqrt 2,$ que existe como una envoltura única entre las tangentes perpendiculares.

En 3D, también por simetría rotacional, el lugar de la superficie requerido es una esfera de $ R= h/ \sqrt 2.$ donde los horizontes para un observador en el círculo dado es el conjunto de pequeño círculos de latitud $45^{0}$ .