Caracterización para anillos Gorenstein artinianos

Question

Dejemos que $(R,m)$ sea un anillo local artiniano. Demuestre que si $I \cap J \neq 0$ para todos los ideales no nulos $I$ y $J$ entonces $R$ es un anillo Gorenstein.

Otra formulación podría ser: demostrar que si $(0)$ es un ideal irreducible, entonces $R$ es Gorenstein.

Answer 1

$\newcommand\m{\mathfrak{m}}$ Por definición, un anillo local conmutativo noetheriano $(R,\m,k)$ es Gorenstein de dimensión cero si y sólo si $\mathrm{Ext}^0_R(k,R) = \mathrm{Hom}_R(k,R)$ es $1$ -dimensional. Si $A$ es artiniano, entonces un ejercicio elemental muestra que $\mathrm{Hom}_R(k,R)$ está en menos $1$ -(pista: tomar la mayor $n$ tal que $\m^n \ne 0$ , entonces mapea un generador de $k$ a cualquier elemento de $\m^n$ ).

De ello se deduce que si $A$ es artiniano pero no Gorenstein, entonces existen dos inyecciones $k \rightarrow R$ con imágenes distintas $I$ y $J$ . (Estos son $R$ -Módulo mapas, por lo que $I$ y $J$ son $R$ -submódulos de $R$ es decir, los ideales). Sin embargo, $I \cap J = (0)$ por la construcción.

Para un anillo artístico local $R$ se puede definir el zócalo $R[\m]$ para que se componga de elementos de $R$ que son aniquilados por todos los elementos de $\m$ . Como $R$ -módulo, $R[\m]$ es un espacio vectorial sobre $k$ y $$\mathrm{Hom}_R(k,R) = \mathrm{Hom}_R(k,R[\m])$$ tiene dimensión $\mathrm{dim}_k(R[\m])$ que es $1$ si y sólo si $R$ es Gorenstein. Tenga en cuenta que si $R$ es un anillo local artiniano de Gorenstein, entonces cualquier ideal no nulo $I$ se cruza de forma no trivial con $R[\m]$ (Considere $\m^n I$ para una adecuada $n$ ), y por tanto $I \cap J \ne (0)$ para todo ideales no nulos de $R$ .

Lo contrario es (casi) también cierto, es decir, que si $R$ es localmente artiniano y Gorenstein, entonces dos cualesquiera distinto de cero ideales $I$ y $J$ se cruzan. La razón es que, como se mencionó anteriormente, ambos deben tener una intersección no trivial con el zócalo $R[\m]$ . Sin embargo, si $R$ es Gorenstein, entonces $R[\m]$ es $1$ -y por lo tanto $I$ y $J$ ambos contienen $R[\m]$ .