Demuestra que para todo $0<\alpha<\beta<\pi/2$: $\tan\beta/\tan\alpha>\beta/\alpha$

Question

Demuestra que para cada $0<\alpha<\beta<(\pi/2)$:
$$\displaystyle\frac{\tan\beta}{\tan\alpha}\gt\frac{\beta}{\alpha}$$

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Intenté establecer una función $f(x) = \tan(x)$ y usar el teorema del valor medio para demostrar esto, pero eso no funcionó ya que $f(0)$ no está definido.

¿Esto implica algún tipo de identidad trigonométrica?

Answer 1

La desigualdad es equivalente a

$$\frac{\tan\beta}{\beta} >\frac{\tan\alpha}{\alpha}.$$

Esto significa que $(\tan x)/x$ es una función creciente en $(0,\pi/2)$. Diferenciamos:

$$\frac{d}{dx}\frac{\tan x}{x}=\frac{2x-\sin2x}{2}\left(\frac{\sec x}{x}\right)^2.$$

Para que $(\tan x)/x$ sea creciente, queremos asegurarnos de que lo anterior sea positivo en el intervalo, lo cual al dividir por términos obviamente positivos deducimos es equivalente a $u>\sin u$ en $u\in(0,\pi)$. Podemos deducir esto notando que tanto $u'=1=\sin'(u)$ en $u=0$, como que $u'=1>\sin'u=\cos u$ en $[0,\pi)$. Esto implica $u>\sin u$ porque, en general, $f\ge g$ en un intervalo implica $\int_a^u f(t)dt\ge \int_a^u g(t)dt$.

Answer 2

Pista:

Considera $$f(x) = \frac{\tan x}{x}, x \in (0,\frac{\pi}{2})$$

y trata de investigar si es creciente o decreciente.

También intenta demostrar que:

$$x \gt \sin x, \forall x \in (0, \pi)$$