Mi maestra dice que es un ejercicio fácil ver que $X^{***}= X^* \bigoplus J(X)^\bot$. Que es, $X^*$ , se complementa en $X^{***}$ e $J(X)^\bot$ es el complemento topológico. Aquí $J$ es la canónica James mapa de $J:X\to X^{**}$. ( Ya he leído otras preguntas similares en este foro, pero no me ayuda )
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K.Power
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Tenga en cuenta que debemos ser cuidadosos con tecnicismos. Para la declaración sentido estricto, en realidad queremos demostrar que, para el canónica de la incrustación de $J_*: X^* \rightarrow X^{***}$, $J_*(X^*)$ , se complementa en $X^{***}$.
Veamos el mapa de $\Phi:X^{***}\to X^{***}$ definido por $\Phi=J_*\circ J^*$. Aquí $J^*$ es el adjunto de $J$. Se trata de un simple ejercicio para demostrar que $\Phi$ es una proyección en $J_*(X^*)$, es decir, $\Phi$ es continua y $\Phi^2 = \Phi$. Por lo tanto tenemos a $X^{***}=X^*\oplus_A(1-\Phi)X^{***}$ (Técnicamente aquí estamos identificando $X^*$ con $J_*(X^*)$). Aquí subíndice $A$ denota la algebraicas suma directa, debido a que todavía no saben que este es un complemento topológico. (Si usted sabe que una continua proyección da lugar a un complemento topológico con esta descomposición, entonces usted realmente hacer, pero no es necesario este conocimiento para esta prueba.)
Sin embargo, si podemos demostrar que $J(X)^\perp=(1-\Phi)X^{***}$ vamos a hacer, porque sabemos que el destructor de un subespacio cerrado. Ahora $f\in(1-\Phi)X^{***}$ si y sólo si $f=g-\Phi g$ para algunos $g\in X^{***}$. Tomamos nota de que $\Phi g$ funcionales es la $\Phi_g$ satisfacción $\Phi_g x=g(x)$ para todos los $x\in J(X).$ Lo si $x\in J(X)$ tenemos $f(x)=g(x)-\Phi_g x=0$. Por el contrario, si $h\in X^{***}$ es tal que $h(x)=0$ para todos los $x\in J(X)$, podemos escribir $h=h-\Phi h$. Por lo tanto $J(X)^\perp=(1-\Phi)X^{***}$ y hemos terminado.
