¿Cómo puedo integrar$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$?

Question

¿Cómo puedo integrar $$\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$$ El problema es que a partir de IA Marón Cálculo, la resolución de 4.3.17. El problema es que bajo el título "Integración por partes'. Yo lo he probado, pero sólo conduce a 2 irresoluble integrales

Answer 1

Suponiendo que la pregunta correcta es la editada uno. Con la integración por partes: $$\int \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \,\mbox{d}x = x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\color{blue}{\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,\mbox{d}x}$$ Desde: $$\left(\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \right)' =\left( \mbox{arcsinh}\,x \right)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

Para el azul integral, se puede sustituir el $u=1+x^2$ y terminar con:

$$\int \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \,\mbox{d}x = x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\color{blue}{\sqrt{1+x^2}}+C$$

Answer 2

Como escribí en el comentario, la integral no es trivial. Tiene que haber algún error en el comando.

Pero en aras de la exhaustividad, aquí está la solución.

$$\log \left(x+\sqrt{x^4+1}\right) x-2 x+\frac{1}{2} \left(\sinh ^{-1}\left(x^2\right)-\frac{i \left(-3 i+\sqrt{3}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{\left(3+i \sqrt{3}\right) x^8-2 i \sqrt{6-6 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1} x^6+2 \sqrt{3} i \left(\sqrt{2-2 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1}+2\right) x^4-2 i \sqrt{6-6 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1} x^2+\sqrt{3} i-3}{\left(-7 i+\sqrt{3}\right) x^8+2 \left(i+\sqrt{3}\right) x^6+2 \left(-3 i+\sqrt{3}\right) x^4+2 \left(i+\sqrt{3}\right) x^2-i+\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{6-6 i \sqrt{3}}}+\frac{\left(3-i \sqrt{3}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{\left(3 i+\sqrt{3}\right) i x^8-2 i \sqrt{6+6 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1} x^6+2 \sqrt{3} i \left(\sqrt{2+2 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1}+2\right) x^4-2 i \sqrt{6+6 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1} x^2+\sqrt{3} i+3}{\left(7 i+\sqrt{3}\right) x^8+2 \left(-i+\sqrt{3}\right) x^6+2 \left(3 i+\sqrt{3}\right) x^4+2 \left(-i+\sqrt{3}\right) x^2+i+\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{6+6 i \sqrt{3}}}+\frac{\left(3 i+\sqrt{3}\right) \log \left(16 \left(x^4-x^2+1\right)^2\right)}{2 \sqrt{6+6 i \sqrt{3}}}+\frac{\left(-3 i+\sqrt{3}\right) \log \left(16 \left(x^4-x^2+1\right)^2\right)}{2 \sqrt{6-6 i \sqrt{3}}}-\frac{\left(3 i+\sqrt{3}\right) \log \left(\left(x^4-x^2+1\right) \left(\left(-3 i+\sqrt{3}\right) x^4-i \left(\sqrt{2+2 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1}+2\right) x^2-3 i+\sqrt{3}-2 i \sqrt{2+2 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1}\right)\right)}{2 \sqrt{6+6 i \sqrt{3}}}-\frac{\left(-3 i+\sqrt{3}\right) \log \left(\left(x^4-x^2+1\right) \left(\left(3 i+\sqrt{3}\right) x^4+i \left(\sqrt{2-2 i \sqrt{3}} \sqrt{x^4+1}+2\right) x^2+3 i+\sqrt{3}+2 \sqrt{2-2 i \sqrt{3}} i \sqrt{x^4+1}\right)\right)}{2 \sqrt{6-6 i \sqrt{3}}}\right)-\frac{\left(-3 i+\sqrt{3}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) x\right)}{\sqrt{-6+6 i \sqrt{3}}}-\frac{\left(3 i+\sqrt{3}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) x\right)}{\sqrt{-6-6 i \sqrt{3}}}$$