¿Está$f$ bijective en$\mathbb{R}^2$?

Question

Deje que$f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$ sea una función de$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$. ¿Estudiar si$f$ tiene un inverso en todo$\mathbb{R}^2$?

Mi enfoque: Ya que$\det(Df(x,y))=(2x)(2x)-(-2y)(2y)=4x^2+4y^2\neq 0$ para$x,y\neq 0$ entonces$f$ es invertible localmente, para cualquier$(x,y)\neq (0,0)$. Pero, ¿cómo puedo saber si esta función inversa es la misma para todos los puntos en$\mathbb{R}^2$?

¡Gracias!

Answer 1

Consejos:

1. Busque dos puntos (quizás con coordenadas enteras pequeñas) para mostrar que no es inyectivo.
2. Una pista más profunda: ¿conoces los números complejos? Que es $(x+iy)^2$?

Answer 2

Consejo: tienes algo cuadrado, que a menudo tiende a no ser inyectivo. Trate de encontrar dos puntos (hay algunos bastante fáciles) para refutar que es inyectivo.

Answer 3

La función$f(x,y)=(x^2-y^2, 2xy)$ es la versión real de la función compleja$f(z)=z^2$. Su inverso es solo local, ya que$f(z)=f(-z)$, y este inverso local es la función de raíz cuadrada, que no es 1-1.