¿Puede una secuencia $\{x_n\}$ en un espacio lineal normado satisface que $\lim{l(x_n)} = l(x)$ para un conjunto denso en $X'$ ¿pero no convergen débilmente?

Question

Supongamos que una secuencia $\{x_n\}$ de puntos en un espacio lineal normado satisface que $\lim{l(x_n)} = l(x)$ para un conjunto $A$ de $l$ denso en $X'$ (el dual de $X$ la colección de todas las funciones lineales continuas, con la norma $|f|_{\infty} = \sup_{X}|f(x)|$ ).

¿Existe un ejemplo tal que la secuencia $x_n$ no converge débilmente a $x$ , es decir, hay $g \in X'$ tal que $\lim{g(x_n)} \neq g(x)$ ?

Answer 1

Toma $X:=\ell^2$ el espacio de las secuencias reales cuadradas sumables y $x_n(k):=n\delta_{nk}$ , donde $\delta_{nk}=0$ si $n\neq k$ y $1$ de lo contrario. Considere $A$ el espacio de las secuencias con un número finito de términos distintos de cero. Entonces $\langle l;x_n\rangle\to 0$ para todos $l\in A$ pero $\{x_n\}$ no está acotado.

Sin embargo, podríamos concluir la convergencia débil si hubiéramos añadido la acotación de $\{x_n\}$ .