Un grupo sin subgrupos no triviales adecuados.

Question

Hay un lema que dice t si un grupo de $G$ no tiene adecuada subgrupos no triviales, a continuación, $G$ es cíclico. Y aquí está la prueba del lema:

Supongamos $G$ no tiene adecuada subgrupos no triviales. Tomar un elemento $a$ en $G$ para que $a$ no es igual a $e$. Considerar el subgrupo cíclico $\langle a \rangle$. Este subgrupo contiene, al menos, e y a, por lo que no es trivial. Pero G no tiene adecuada de los subgrupos, por lo que debe ser ese $\langle a \rangle = G$. Por lo tanto $G$ es cíclica, es decir, por la definición de un grupo cíclico.

Pero aquí no entiendo la siguiente: ¿por Qué debe $\langle a \rangle$ ser un subgrupo de $G$? Para cada elemento individual $a$ en $G$ si $\langle a \rangle$ es un subgrupo de $G$, a continuación, cada grupo debe tener al menos tantos subgrupos como el número de sus elementos. Agradecería cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Dado que$a\in G$,$\langle a\rangle$ se define como el subgrupo más pequeño de$G$ que contiene$a$ como un elemento. Sin embargo, saber que$\langle a\rangle=\langle b\rangle$ no es suficiente para concluir que$a=b$. Por ejemplo, siempre tenemos$\langle a\rangle=\langle a^{-1}\rangle,$ sin importar el orden de$a$.

Answer 2

Cada elemento de un grupo de $G$ hecho de generar un subgrupo. Pero los subgrupos generados por los diferentes elementos no son necesariamente iguales.

Si $a\in G$, $\langle a \rangle$ es el más pequeño subgrupo que contiene $a$, y que es, por definición, un subgrupo cíclico. Es de los elementos de hecho de forma cíclica subgrupos de \langle un \rangle así, pero tenga en cuenta que cualquier elemento puede ser en un número de subgrupos.

Es decir, los subgrupos no necesita ser distinto, de hecho, no puede ser, ya que, al menos, $e$ es un elemento en cada subgrupo, por la definición de un subgrupo. De modo que un elemento puede ser, de hecho, en más de un subgrupo.

Sugerencia

Ver el $\mathbb Z$ y comparar algunos de sus subgrupos: $2\mathbb Z$, $4\mathbb Z$, $8\mathbb Z$, etc. Tenemos $8\mathbb Z \leq 4\mathbb Z \leq 2\mathbb Z \leq \mathbb Z$

Nota, por ejemplo, $2\in \{2n\mathbb Z: n \in \mathbb N, n\geq 1\} \leq \mathbb Z$. Tenga en cuenta que $8 = 4(2n) \in 2n\mathbb Z$, pero $8$ es también en $\mathbb 4n\mathbb Z$ y genera $8n\mathbb Z$.

Para un número finito de ejemplo, ver el $\mathbb Z_{4} = \langle 1 \rangle = \langle 3 \rangle$. Mientras que $2 \in \langle 1 \rangle,\;\; \langle 2 \rangle \neq \langle 1 \rangle.$ Pero $\langle 2 \rangle = \{0, 2\} \leq \langle 1 \rangle.$ Y claramente, $\langle 0 \rangle = \{0\} \leq \langle 2 \rangle \leq \langle 1 \rangle$

Answer 3

Mezclaste el conjunto de un elemento$\{a\}$ y el conjunto$<a>$ de todas las potencias de un elemento$a$.