Integración por partes de la función delta

Question

Estoy pasando el peor momento tratando de resolver esta integral,

$$ \int g(t)\frac{d}{df}\delta[f(t)]dt, $$

$$ = \int g(t)\frac{dt}{df}\frac{d}{df}\delta[f(t)]dt. $$

Esto debería producirse,

$$ -\bigg[ \frac{dt}{df}\frac{d}{dt} \bigg( \frac{g(t)}{\frac{df}{dt}} \bigg) \bigg]_{f(t)=0} $$

He probado todas las formas posibles de solucionar esta integral (configurando varias u y dv).

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Primer intento:

$$ u = \frac{dt}{df}\frac{d}{dt} \rightarrow du=\frac{d}{dt}\bigg(\frac{dt}{df}\frac{d}{dt}\bigg)dt $$ $$ dv = g(t)\delta[f(t)]dt \rightarrow v = \bigg[\frac{g(t)}{|df/dt|}\bigg]_{f(t)=0} $$

Pero esto es un epic fail (creo)

Segundo intento:

$$ u = g(t)\frac{dt}{df} \rightarrow du=\frac{d}{dt}\bigg(g(t)\frac{df}{dt}\bigg)dt $$ $$ dv = \frac{d}{dt}\delta[f(t)]dt \rightarrow v = \delta[f(t)] $$

Pero tampoco creo que esto dé la solución correcta...

Answer 1

Heurísticamente tenemos

\begin{align*} \int g \frac{d\delta}{df}(f) \, dt &= \int g \frac{d\delta}{df}(f) \frac{dt}{df} \, df = \int \frac{g}{f'} \frac{d\delta}{df}(f) \, df \\ &= - \int \frac{d}{df}\bigg(\frac{g}{f'}\bigg) \delta(f) \, df \\ &= - \int \frac{dt}{df}\frac{d}{dt}\bigg(\frac{g}{f'}\bigg) \delta(f) \, df \\ &= - \left. \frac{1}{f'}\bigg(\frac{g}{f'}\bigg)' \right|_{f=0}. \end{align*}

Pero esto no es más que una heurística engañosa y tenemos que justificar (y también calibrar) este resultado en lenguaje matemático. Para ello, supongamos que $f$ sea suave, que $g \in C_{c}^{\infty}(\Bbb{R})$ y que $g$ decae lo suficientemente rápido como para no plantear ningún problema de integrabilidad. Además, dejemos que $x_j$ sean ceros de $f$ y asumir que son ceros simples de $f$ : $f'(x_j) \neq 0$ . Entonces existe una familia disjunta de vecindades abiertas $U_j$ de $x_j$ tal que $f$ es invertible en $U_j$ con una inversa local, que denotamos $f^{-1}$ siempre que no surja ninguna ambigüedad. Entonces

\begin{align*} \int_{\Bbb{R}} g \frac{d\delta}{df}(f) \, dt &= \int_{\Bbb{R}} g(t) \delta'(f(t)) \, dt = \sum_{j} \int_{U_j} g(t) \delta'(f(t)) \, dt \\ &= \sum_{j} \int_{f(U_j)} g(f^{-1}(u)) \left| (f^{-1}(u))' \right| \delta'(u) \, du \qquad (u = f(t)) \\ &= - \sum_{j} \mathrm{sgn}\,(f^{-1}(u))' \cdot \int_{f(U_j)} \big[ g(f^{-1}(u)) (f^{-1}(u))' \big]' \delta(u) \, du \\ &= - \sum_{j} \mathrm{sgn}\,(f^{-1}(u))' \cdot\left.\big[ g(f^{-1}(u)) (f^{-1}(u))' \big]'\right|_{u=0} \end{align*}

Aquí, explotamos la siguiente propiedad

$$ \int_{\Bbb{R}} \varphi(x) \delta'(x) \, dx = - \int_{\Bbb{R}} \varphi'(x) \delta(x) \, dx = -\varphi'(0), \quad \varphi \in C_{c}^{\infty}(\Bbb{R}). $$

Ahora, un simple cálculo muestra que

$$ \big[ g(f^{-1}(u)) (f^{-1}(u))' \big]' = \frac{f'(t) g'(t)-g(t)f''(t)}{f'(t)^3}, $$

donde $t = f^{-1}(u)$ . Por último, al observar que $f$ aumenta en $U_j$ si y sólo si $f^{-1}$ aumenta en $f(U_j)$ se deduce que $\mathrm{sgn} \, (f^{-1})'(0) = \mathrm{sgn}\,f'(x_j)$ . Por lo tanto, tenemos

\begin{align*} \int_{\Bbb{R}} g \frac{d\delta}{df}(f) \, dt &= - \sum_{j} \mathrm{sgn} \, f'(t) \cdot \left. \frac{f'(t) g'(t)-g(t) f''(t)}{f'(t)^3} \right|_{t=x_j} \\ &= - \sum_{j} \left. \frac{1}{\left| f'(t) \right|} \bigg( \frac{g(t)}{f'(t)} \bigg)' \right|_{t=x_j} \\ \end{align*}

como se desee.

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Editar. Siguiendo el consejo de jbc, he enmendado el problema del cartel. Me di cuenta de este problema hace unos días, pero me olvidé de arreglarlo hasta que él/ella lo señaló explícitamente. Es culpa de mi memoria a corto plazo :( ¡Y también gracias, jbc!

Answer 2

Me gustaría añadir algo a la respuesta anterior por dos razones. En primer lugar, creo que hay un error de signo en el resultado final. En segundo lugar, a pesar del título, creo que no se trata de integración parcial sino de cambio de variables en las distribuciones y este es un tema recurrente en este sitio. Las consultas sobre este tema suelen responderse con métodos ad hoc, es decir, suponiendo que el objeto dado existe y luego que se puede manipular como se hace en el caso clásico. Como método empírico, no hay nada que decir en contra de este procedimiento, pero al tratarse de un foro matemático hay que tener en cuenta que la sustitución de funciones en distribuciones es bastante más delicada que en el caso clásico: la sustitución $T \circ \phi$ sólo puede llevarse a cabo bajo supuestos especiales sobre la distribución $T$ y la función suave $\phi$ . (Observamos que la mayoría de las aplicaciones son para el caso específico en el que $T$ es un $\delta$ -o, como en esta consulta, su derivado).

Una definición rigurosa y elemental fue dada por Sebastiao e Silva en los años 60 y se expone en el texto "An elementary introduction to the theory of ditributions" de Campos Ferreira. Brevemente, si una distribución es de orden finito, es decir, es una derivada iterada de una función continua (como $\delta$ y $\delta'$ son), digamos $T = \tilde D^m F$ para una función continua $F$ (donde el símbolo $\tilde D$ denota la derivada en el sentido de las distribuciones), entonces $T\circ \phi$ se define como $\left (\frac 1 {\phi' }\tilde D\right )^m (F\circ \phi)$ . (Para la motivación de esta definición y la prueba de que está bien definida -la parte difícil- y tiene las propiedades que uno querría, véase la referencia anterior). Se ve que esta definición sólo tiene sentido si $\phi$ es un homeomorfismo cuya derivada no desaparece (se puede extender mediante un análisis más cuidadoso pero esto no afectará a lo que sigue).

Si se aplica esto a $\delta$ y su derivada, se obtienen las fórmulas $$\delta \circ \phi = \frac 1{|\phi'(a)|} \delta_a$$ y $$\delta' \circ \phi = \frac 1{|\phi'(a)^3|}\left ( \phi'(a)\delta_a'+\phi''(a) \delta_a \right )$$ donde $a$ es $\phi^{-1}(0)$ .

La fórmula solicitada en la consulta se obtiene entonces aplicando estas distribuciones a la función de prueba $g$ y utilizando las reglas de integración de términos que implican $\delta$ y $\delta'$ . (Nos hemos tomado la libertad de utilizar una notación diferente para las derivadas). Un análisis algo más delicado puede servir para extender esto al caso de una función suave $\phi$ para lo cual $\phi$ tiene, digamos, sólo un número finito de ceros. Las fórmulas siguen siendo las mismas pero se suma sobre el conjunto de ceros.