Ayuda para encontrar el dominio de$\int_{-\infty}^{\infty}{1\over (\pi{x}+f(x))^2+1}dx=1$

Question

Alguien puede ayudar a determinar el dominio de la función $f(x)$ para que la integral tiene un valor de uno?

$$\int_{-\infty}^{\infty}{1\over (\pi{x}+f(x))^2+1}dx=1\tag1$$

Y ¿cómo se puede mostrar $(1)$ tiene un valor de 1 para cualquier válido $f(x)$?

Establecimiento $f(x)=\tan{x}$

$$\int_{-\infty}^{\infty}{1\over (\pi{x}+\tan{x})^2+1}dx=1\tag2$$

Que había sido probado aquí

He intentado y establecer $f(x)$ varía funciones tales como $\cos{x}$,$e^{x}$, $x\cos{x}$,... según wolfram integrador funciona bien.

Yo podría intentar: cumplimiento de $u=\pi{x}+f(x)$ entonces $du=\pi+f^{'}(x)dx$

$$\int_{-\infty}^{\infty}{1\over (1+x^2)(\pi+f^{'}(x))}du\tag3$$

que tal vez de similiar a este post

Answer 1

Su declaración es NO verdadero para general $f(x)$ en el menor

Deje $f(x) = x$. Entonces tenemos $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(\pi x + x)^2+1}dx$$ $$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{[x(\pi + 1)]^2+1}dx$$ $$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2(\pi+1)^2+1}dx$$ Ahora nos vamos a $u=(1+\pi)x$ e lo $du = (1+\pi)dx$ $$=(1+\pi)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{u^2+1}du$$ La antiderivada es $\frac{\arctan(x+\pi x)}{1 + π}$, y cuando tomamos límites obtenemos $$=\frac{\pi}{1+\pi}$$
Por lo tanto, su afirmación no es verdadera para todos los $f(x)$. Podría ser cierto para algunos específicos de $f(x)$ como $f(x)=\tan(x)$, pero yo no esperaría que esto se sostenga dada una función arbitraria. Por otra parte, dado que Mathematica no calcular la integral de $f(x)=\sin(x)$ o $f(x)=e^x$ estoy bastante seguro de que la línea integrador que se utiliza está mal. Si por "dominio donde esta sostiene" que significa la "clase de las funciones para las que esto es", entonces usted podría tener algo, pero eso no es lo que tu post pide en el momento