Para cualquier $a_j \in \Bbb R, \, j = 1, 2, \cdots, n$, uno tiene la enlazado
$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 + \left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 \le (n + 2) \sum_{j =1}^n a_j^2.$$
Este es un ejercicio de Cauchy de la desigualdad.
Mi primer tratar:
A partir de la desigualdad de Cauchy tenemos
$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 \le n \sum_{j = 1}^n a_j^2,$$
$$\left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 \le n \sum_{j = 1}^n a_j^2.$$
Añadir estos dos y tenemos
$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 + \left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 \le 2n \sum_{j = 1}^n a_j^2,$$
que es más débil que la desigualdad en cuestión.
Mi segunda tratar:
$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 + \left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 = (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} - \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2.$$
Por otro lado,
\begin{align} (n + 2) \sum_{j = 1}^n a_j^2 & = n \sum_{j = 1}^n a_j^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \\ & \ge (\sum_{j = 1}^n a_j)^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \\ & = (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2. \\ \end{align}
Así que solo tenemos que mostrar que
$$(\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \ge (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} - \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2,$$
es decir,
$$2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \ge (\sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j)^2.$$
Estoy en lo cierto y ¿cómo debo proceder?
