¿Cómo pruebo que$\left | \sum_{j=1}^n a_j \right |^2 + \left | \sum_{j=1}^n (-1)^j a_j \right |^2 \le (n+2) \sum_{j=1}^n a_j^2$?

Question

Para cualquier $a_j \in \Bbb R, \, j = 1, 2, \cdots, n$, uno tiene la enlazado

$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 + \left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 \le (n + 2) \sum_{j =1}^n a_j^2.$$

Este es un ejercicio de Cauchy de la desigualdad.

Mi primer tratar:

A partir de la desigualdad de Cauchy tenemos

$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 \le n \sum_{j = 1}^n a_j^2,$$

$$\left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 \le n \sum_{j = 1}^n a_j^2.$$

Añadir estos dos y tenemos

$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 + \left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 \le 2n \sum_{j = 1}^n a_j^2,$$

que es más débil que la desigualdad en cuestión.

Mi segunda tratar:

$$\left | \sum_{j = 1}^n a_j \right |^2 + \left | \sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j \right |^2 = (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} - \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2.$$

Por otro lado,

$$\begin{align} (n + 2) \sum_{j = 1}^n a_j^2 & = n \sum_{j = 1}^n a_j^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \\ & \ge (\sum_{j = 1}^n a_j)^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \\ & = (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2. \\ \end{align}$$

Así que solo tenemos que mostrar que

$$(\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \ge (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} + \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2 + (\sum_{j \text{ is even}} a_{j} - \sum_{j \text{ is odd}} a_{j})^2,$$

es decir,

$$2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 \ge (\sum_{j = 1}^n (-1)^j a_j)^2.$$

Estoy en lo cierto y ¿cómo debo proceder?

Answer 1

Aquí está la prueba dada por mi libro de texto:

PS

donde$$LHS = 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 + 4 \sum_{(j, k) \in S} a_j a_k,$es el conjunto de todos$S$tal que$(j, k)$con$1 \le j \lt k \le n$ par.

$$\begin{align} LHS & \le 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 + 2 \sum_{(j, k) \in S} (a_j^2 + a_k^2) \\ & \le 2 \sum_{j = 1}^n a_j^2 + 2 \sum_{s = 1}^n n_s a_s^2, \\ \end{align}$$

donde$j + k$ denota el número de pares$n_s$ en$(j, k)$ con$S$ o$j = s$.

Observa eso

PS

Así,

$$\begin{align} LHS & \le (2 + 2 \left \lfloor \frac {n - 1}2 \right \rfloor) \sum_{j = 1}^n a_j^2 \\ & \le (n + 2) \sum_{j = 1}^n a_j^2. \\ \end{align}$$