Resto cuando el polinomio$1+x^2+x^4+\cdots +x^{22}$ se divide por$1+x+x^2\cdots+ x^{11}$

Question

Pregunta : Encontrar el resto cuando el polinomio $1+x^2+x^4+\ldots +x^{22}$ se divide por $1+x+x^2+\cdots+ x^{11}$.

He intentado utilizar Euclides de la división de lema, I. e.

$$P_1(x)=1+x^2+x^4+\cdots+x^{22}$$

$$P_2(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{11}$$

Luego de algunos polinomio $Q(x)$ e $R(x)$; hemos

$$P_1(x)=Q(x)\cdot P_2(x)+R(x)$$

Ahora, ponemos los valores de $x$ tal que $R(x)=0$ y ecuaciones de forma, pero este método es demasiado tiempo y en la resolución del 11 de conjunto de ecuaciones para las 11 de la variable (Desde $R(x)$ un polinomio en más de 10 grados) es imposible hacer competitivo al examen en el que el tiempo promedio para la resolución de una pregunta es de 3 minutos.

Otro método es utilizar la original método de la división, y siguiendo el patrón, podemos predecir $Q(x)$ e $R(x)$, pero también es muy duro y el tiempo que tomaba.

Estoy en busca de una solución simple a este problema desde la última semana y ahora dudo incluso tenemos una solución simple a esta pregunta.

Puede usted por favor darme una pista o solución sobre cómo proceder para resolver este problema en el tiempo?

Gracias!

Answer 1

$$P_1(x)=\frac{x^{24}-1}{x^2-1}$ $$$P_2(x)=\frac{x^{12}-1}{x-1}$ $$$\frac{P_1(x)}{P_2(x)}=\frac{x^{24}-1}{x^{12}-1}\cdot\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x^{12}+1}{x+1}$ $ Entonces la regla de Ruffini nos dice que el resto de esta división reducida es el polinomio$x^{12}+1$ evaluado en$-1$, es decir, 2. Cuando la parte superior e inferior de$\frac2{x+1}$ se multiplican por$\frac{x^{12}-1}{x^2-1}$, el denominador se convierte en$P_2(x)$ y el numerador da la respuesta final de$\frac{2(x^{12}-1)}{x^2-1}=2+2x^2+2x^4+2x^6+2x^8+2x^{10}$.

Answer 2

Deje$\,P_n(x)=1+x+\cdots+x^{n-1}=(x^n-1)/(x-1)\,$, entonces el problema es equivalente a encontrar el resto de la división$\,P_{12}(x^2) / P_{12}(x)\,$.

El resto es$\,2 \,P_6(x^2)\,$, que sigue para$\,n=6\,$ de la identidad general:

$$ \begin{align} P_{2n}(x^2) = \frac{x^{4n}-1}{x^2-1} &= \frac{x^{2n}-1}{x-1} \, \frac{x^{2n}+1}{x+1} \\[5px] &= \, \frac{x^{2n}-1}{x-1} \, \frac{x^{2n}-1+2}{x+1} \\[5px] &= - \, \frac{x^{2n}-1}{x-1} \, \frac{(-x)^{2n}-1}{(-x)-1} + 2 \, \frac{x^{2n}-1}{x^2-1} \\[5px] &= - \, P_{2n}(x) P_{2n}(-x) + 2 P_n(x^2) \end {align} $$

Answer 3

El divisor$f = (\color{#c00}{x^{\large 12}\!-1})/(x-1)$ y$\,g = (1+\color{#c00}{x^{\large 12}})(1+x^{\large 2}+\cdots+x^{\large 10})\,$ es el dividendo

por lo tanto,$ \bmod\, f\!:\,\ \color{#c00}{x^{\large 12}\equiv 1}\ $ implica que$\, g\equiv\, (1\:+\ \color{#c00}1\,)\:(1+x^{\large 2}+\cdots+x^{\large 10})$

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Observación $ $ Generalmente podemos escribir$\ g = f_{\large 0} + f_{1} x^{\large 12} + +\cdots f_{\large k\,} x^{\large 12k}\,$ con$\:\deg f_{\large i} < 12$

por lo tanto como arriba$\ \color{#c00}{x^{\large 12}\equiv 1}\ \Rightarrow\,\ g\bmod f\,=\, f_{\large 0}+f_1+\cdots+ f_{\large k}$

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Generalmente si$\ f\mid x^{\large n}\!-1\,$ entonces$\,g\bmod f\, =\, (g\bmod \color{#c00}{x^{\large n}\!\equiv 1})\bmod f$

Answer 4

\begin{eqnarray*} p_2(x) &=& (x^6+1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\\ &=& (x^6+1)(x^3+1)(x^2+x+1)\\ &=& (x^6+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\\ &=& (x+1)(x^6+1)(x^4+x^2+1) \end {eqnarray *}

\begin{eqnarray*} p_1(x) &=& (x^{12}+1)(x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1)\\ &=& (x^{12}+1)(x^6+1)(x^4+x^2+1) \end {eqnarray *}

Escriba$$p_1(x) = k(x)p_2(x) +r(x)$$ then $ (x ^ 6 +1) (x ^ 4 + x ^ 2 +1)$ divides $ r (x) $.

Entonces$r(x) = (x^6+1)(x^4+x^2+1)s(x)$ donde$s(x)$ es constante. Entonces$$x^{12}+1 = k(x)(x+1)+ s(x)$$ Put $ x = -1$ and we get: $ s (-1) = 2 $.