Por comodidad, utilizaré una notación ligeramente diferente.
El segundo teorema de Meissel-Mertens da para la suma sobre primos $p \leq n$ que $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln(\ln n)\right) = M$$
En otras palabras, asintóticamente $$ \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} \approx \ln(\ln n)$$
Si elevamos la expresión al cuadrado obtenemos
$$ \left(\sum_{p \leq n} \frac{1}{p} \right)^2 = \sum_{p \leq n} \frac{1}{p^2} + \sum_{p_1 \neq p_2 \leq n} \frac{1}{p_1 p_2} \approx \left[\ln(\ln n)\right]^2 $$
Dado que la suma $\sum_p \frac{1}{p^2}$ converge, por lo que obtenemos $$ \sum_{p_1 < p_2 \leq n} \frac{1}{p_1 p_2} \approx \frac{1}{2} \left[\ln(\ln n)\right]^2 $$
Si se toman las potencias más altas y se conservan los términos principales, se obtiene $$ \sum_{p_1 < p_2 < \dots <p_k\leq n} \frac{1}{\prod_i^k p_i} \approx \frac{1}{k!} \left[\ln(\ln n)\right]^{~k} $$
Usando el teorema del número primo $p_n \sim n \ln n$ encontramos $$ \sum_{m \in S_{k,n}} \frac{1}{m} \approx \frac{1}{k!} \left[\ln(\ln (n \ln n))\right]^{~k} $$
Nótese que esto sólo funciona aquí porque se consideran todas las combinaciones con factores hasta un primo máximo. Una suma diferente sería sobre todos los primos $p$ , $q$ donde el producto está acotado $$ \sum_{p \neq q | p q \leq n} \frac{1}{p q}$$
