Distribución de $\frac{X}{|Y|}$ donde $X$ et $Y$ son v.r. normales estándar independientes

Question

Sean X e Y variables aleatorias normales estándar independientes.

¿Cuál es la distribución de $\large \frac{X}{|Y|}$ ?

Intento:

Sea $\large U = \frac{X}{|Y|}$ et $ V = |Y|$ .

Esta transformación no es unívoca. Podemos hacerla uno a uno restringiendo la consideración a valores positivos o negativos de y. Sea

$A_1 = $ { $(x,y): y > 0$ } $, A_2 = $ { $(x,y): y < 0$ }, $A_0 = $ { $(x,y): y = 0$ }.

$B = $ { $ (u,v): v > 0$ } es la imagen de ambos $A_1$ et $A_2$ . Las transformaciones inversas vienen dadas por:

$y = v, x = uv$ para B a $A_1$ y $ y = -v, x = -uv$ para B a $A_2$ .

Ambos jacobianos $J_1$ et $J_2$ son iguales a v.

Entonces la distribución conjunta de U,V viene dada por:

$f_{U,V}(u,v) = \Large \frac{1}{2\pi}e^{-uv^2/2}e^{-v^2/2}*v+\frac{1}{2\pi}e^{-uv^2/2}e^{-(-v^2/2)}*v $

$= \Large \frac{v}{\pi}e^{-(u^2+1)v^2/2}$ , $-\infty < u < \infty, 0 < v < \infty$ .

Para hallar la FDP marginal de U, hay que integrar V:

$ f_{U}(U) = \Large \int_0^\infty\frac{v}{\pi}e^{-(u^2+1)v^2/2}dv$

$ = \Large \frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{-(u^2+1)z/2}dz$ donde $z = v^2$

$ = \Large \frac{1}{2\pi} \frac{2}{(u^2+1)}$ (el integrando es el núcleo de la exponencial ( $\beta = 2/(u^2+1)))$

$= \Large \frac{1}{\pi (u^2+1)},$ $-\infty < u < \infty$ que es una variable aleatoria de Cauchy.

Answer 1

Aviso, $|Y|=\sqrt{\frac{Y^2}{1}}$ . Así que tienes $\frac{Z_1}{\sqrt{\frac{{Z_2}^2}{1}}}$ . Así es $t_1$ que es una distribución de Cauchy.