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Cuña de la suma de los círculos y de Hawai pendiente

El (countably infinito) de la cuña de la suma de los círculos es el cociente de distintos contables de la unión de los círculos $\amalg S_i$, con puntos de $x_i\in S_i$ identificó a un solo punto, mientras que el Hawaiano de los aretes de H es el espacio topológico definida por la unión de los círculos en el plano Euclidiano $\mathbb{R}^2$ centro $(1/n, 0)$ y radio de $1/n$$n = 1, 2, 3, ...$.

En la definición de countably infinito de cuña de la suma de los círculos, no se especifica el tamaño de los círculos, los puntos que se identifican en un solo punto, etc. Así que podemos tomar distintos de la unión de círculos de radio $1/n$ e identificar un punto de cada uno a un común punto único para obtener Hawai pendiente.

Yo no podría entenderse la diferencia entre estos dos espacios topológicos. Se puede explicar con mayor precisión la diferencia entre estos dos espacios?

22voto

user3296 Puntos 399

El punto es que la topología de la Hawaiana pendiente hereda de $\mathbb{R}^2$ es no la topología de la cuña de la suma de los círculos que lo componen. En particular, cualquier barrio de el origen en el Hawaiano pendiente completamente contiene un número finito de los círculos, que claramente no es el caso para un infinito ramo de círculos.

21voto

Paul A. Clayton Puntos 902

Usted tiene dos muy agradable respuestas a discutir la diferencia entre las topologías en estos espacios. Sin embargo, he pensado que me gustaría mencionar uno ligeramente más alto nivel de diferencia entre ellos. El grupo fundamental de la cuña de una infinidad de círculos es el grupo contable muchos generadores, uno para cada círculo. Este es un lugar sencillo contables del grupo. El grupo fundamental de la Hawaiana pendiente, sin embargo, es verdaderamente extraño. De hecho, es incontable y tiene muchas más complicadas relaciones.

Cuando me enteré de esto, me sorprendió que cerró los subconjuntos de que el avión podría haber innumerables fundamentales de los grupos.

Un papel bonito que trata sobre esto (y contiene una buena bibliografía de los trabajos anteriores) es "La combinatoria de la estructura de la Hawaiana pendiente de grupo" por el Cañón y Conner, que apareció en la Topología y sus Aplicaciones, Volumen 106, número 3, de 6 de octubre de 2000, Páginas 225-271.

16voto

TimDaMan Puntos 116

El punto en el que todos los círculos se reúnen tiene diferentes barrios en cada uno de los espacios que usted menciona. En el caso de una cuña de círculos, el "punto de la cuña" ha contráctiles barrios, mientras que el punto correspondiente en la pendiente de Hawai no tiene contráctiles barrios.

7voto

Travis Puntos 30981

Una diferencia clave es que el Hawaiano de arete es compacto (es un cerrado, limitado subconjunto de $\mathbb{R}^2$) pero un countably infinito de cuña de la suma (o contables ramo) de los círculos no es, como se puede (fácilmente) producen una apertura de la tapa que no admite finito subcover. Esta es probablemente la forma más fácil de ver que los dos espacios son topológicamente no equivalentes.

3voto

Anubhav.K Puntos 1982

A partir de una expresión algebraica topológico punto de vista se puede ver una gran diferencia entre el grupo fundamental de la cuña infinita suma de los círculos(que se denota por Y) y hawai pendiente(denotado por X)...

deje $C_n$ ser el círculo de radio 1/n...considerar la retracción $r_n : X \rightarrow C_n$ colapso de todos los $C_i$'s esperan $C_n$ al origen...cada una de las $r_n$ induce un surjective homorphism $r_n* :\pi_1(X) \rightarrow \pi_1(C_n)\approx \mathbb{Z}$...el producto de $r_n*$ es un homomorphism $R: \pi_1(X) \rightarrow \prod_\infty\mathbb{Z}$ para el directo producto (no la suma directa)de infinidad de copias de $\mathbb{Z}$,y R es surjective ya que para cada secuencia de enteros $x_n$ podemos construir un bucle f:I$\rightarrow$X que envuelve $x_n$ veces el bucle de $C_n$ en el intervalo de tiempo [1-1/n,1-1/n+1]...y si continua desde todos los barrios de el punto de base en X contiene un número finito de círculos. por lo $\pi_1(X)$ es incontable...por otro lado, el grupo fundamental de la od de una cuña suma de countably muchos círculos se genera por countably muchos elementos contables.

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