Grupo fundamental de Mapeo Torus$M_h$: ¿cómo probar que la acción es realmente$h_*$?

Question

Vamos a trabajar con la siguiente configuración:

deje $h$ ser un automorphism (supone el punto de partida conservación) de un género $g$ superficie ($g>0$) a sí mismo. $h \colon (\Sigma^g,\ast) \to (\Sigma^g,\ast)$ y definir la asignación de torus $M_h$ en la forma habitual.

Observe que $h$ induce una acción $\pi_1(S^1,\ast)\to Aut(\pi_1(\Sigma^g,\ast))$ sólo el envío de los elegidos generador de a $h_*$, en efecto, así es plausible la existencia de la semidirect producto: $\pi_1(\Sigma^g,\ast)\rtimes_{h_*} \pi_1(S^1,\ast)$.

Se me pidió para demostrar que el grupo fundamental de la $\pi_1(M_h, \ast)\cong \pi_1(\Sigma^g,\ast)\rtimes_{h_*} \pi_1(S^1,\ast)$ (con un poco de abuso de notación uno puede identificar a todos los basepoints a un elegido).

Por el l.e.s. de la fibration $\Sigma^g \to M_h \to S^1$ es fácil ver que $$\pi_1(M_h, \ast)\cong \pi_1(\Sigma^g,\ast)\rtimes_{?} \pi_1(S^1,\ast)$$

Siendo $\pi_1(S^1,\ast)\cong \mathbb{Z}$, $\pi_2(S^1,\ast)\cong 0$ y en el nivel cero de la inclusión de la fibra induce un bijection, tenemos los siguientes s.e.s. $$ 0 \to \pi_1(\Sigma^g,\ast) \xrightarrow{incl.} \pi_1(M_h, \ast) \xrightarrow{\pi} \pi_1(S^1,\ast)\to 0$$ que es derecho-split (desde $\mathbb{Z}$ es gratis).

Por favor note que la "?" He puesto: no tengo la más mínima idea sobre cómo determinar que la acción no es realmente el uno inducida por $h$, debido a que mi razonamiento anterior era puramente algebraico. Sé que de manera abstracta la acción está dado por la conjugación, pero, ¿cómo demostrar que la presente acción es la misma que la inducida por $h$?. Mi intento fue el de intentar encontrar algo de que l.e.s. pero yo no veo nada útil. por lo que la preocupación de S. v K. no puedo encontrar útil cobertura de la asignación de toro.

Soy consciente de que hay otro análogo pregunta aquí, pero es $5$ años de edad y la respuesta no ofrece ningún ideas, ni de los comentarios.

Answer 1

Aquí hay dos maneras de ver esto por un general de asignación de torus $M_f$ e $f:N\to N$:

1) de Bass-Serre Teoría: tomar abrir los vecindarios $U,V$ de % de $N\times [0,\frac 12]$ e $N\times[ \frac 12,1]$. El grupo fundamental de la $M_f$ calcula como grupo fundamental de la gráfica de los grupos de esta apertura de la tapa. La gráfica de los grupos está dada por dos vértices $U$ e $V$ conectado con dos bordes procedentes de los dos componentes de $U\cap V$. Tenga en cuenta que los grupos de todos los vértices y aristas se $\pi_1N$ y que todos, pero uno de los bordes de la inclusión son las señas de identidad. Un máximo de árbol contiene sólo uno de los bordes (para el cálculo de preferencia el uno con el dos de identidad morfismos), que inmediatamente da el grupo fundamental (por leve abuso de notación) como $$ \langle \pi_1N,t|txt^{-1}= f(x)\rangle, $$ donde $t$ es un generador desde el borde restante.

2) La otra forma de ver esto es que respecto de la acción de grupo fundamental de la base del espacio de la fibra (que existe para todos los Serre fibrations). Es fácil calcular que esta acción es precisamente la misma que la acción procedentes de $0 \to \pi_1N \to \pi_1M_f\to \pi_1S^1\to 0$. Una vez que la acción viene de la topología y de una vez de álgebra. Sin embargo, la que viene de la topología es en la nariz :-)

2*) Para regular $G$-cubriendo espacios que tiene la fibra secuencia $0 \to \pi_1\tilde M \to \pi_1M\to G\to 0$ (tenga en cuenta que $G$ es este tiempo de $\pi_0$ de la fibra!). Se puede comprobar que la Cubierta del grupo de acción de $G$ coincide con la de la $G$-acción procedentes de la secuencia exacta. Por lo tanto, por la inserción de la correcta $G=\mathbb Z$, $\tilde M=N\times \mathbb R$, $M=M_f$ (el pullback de la universal $\mathbb Z$-cubierta a lo largo de la fibration) y la cubierta de acción del grupo sobre el $N\times \mathbb R$ es uno de la nariz una vez más.

Pregunta extra: ¿cuál es la relación entre el 2) y 2*)?

Answer 2

La asignación de toro es una unión de dos copias de $\Sigma_g\times\left[0,1\right]$ donde el encolado de un límite componente es a través de la identidad y de la otra frontera componente es a través de $h$.

Uno no puede aplicar Seifert-van Kampen directamente a esta descomposición debido a la intersección no está conectado.

Por lo tanto, uno utiliza el siguiente truco. Denotar $M_h=X_1\cup X_2$ por encima de la descomposición. En un primer paso, considere la posibilidad de la unión de $Y_1=X_1\cup C$ donde $C$ es un círculo que se obtiene como una unión de $\left\{x_0\right\}\times\left[0,1\right]\subset \Sigma_g\times\left[0,1\right]=X_2$ con un adecuado intervalo de $X_1$. La intersección $X_1\cap C$ es sólo $\left\{x_0\right\}\times\left[0,1\right]$, en particular, que está conectado y se puede aplicar de Seifert-van Kampen que da $\pi_1Y_1=\pi_1X_1* {\mathbb Z}$.

Ahora $M_h$ es la unión de $Y_1$ e $X_2$ y su intersección está conectado debido a que se obtiene al unir los dos copias de $\Sigma_g$ por un arco entre ellos. Así que usted puede ahora aplicar Seifert-van Kampen a esta unión para calcular $\pi_1M_h$.