¿Cómo escribo un vector como una combinación lineal de otros vectores?

Question

Escriba$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\15 \end{pmatrix}$ como una combinación lineal de los siguientes vectores:$u=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\5 \end{pmatrix}$,$v=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\-1 \end{pmatrix}$,$w=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix}$.

Mi intento:

$$\begin{bmatrix} 1 & 3& -1 & 5\\ 2 & -4 & 1& 3\\ 5&-1&1&15\\ \end {bmatrix} \ sim \ to \begin{bmatrix} 1 & 0& 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0&0&1&1\\ \end {bmatrix}$$

Obviamente, me salté muchos pasos de reducción, porque es un problema escribir matrices aquí, pero me preguntaba si incluso hice lo correcto.

Answer 1

Así que ... has hecho la parte difícil, ahora termínalo:

PS

Entonces, ¿qué has encontrado para ser$$c_1 $$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\5 \end{pmatrix}$$ + c_2 $$\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\-1 \end{pmatrix}$$ + c_3 $$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\15 \end{pmatrix}$$ $?

Rellena los valores correctos para cada constante, ¡y listo!