¿La Regla de Collatz$3x+5$ tiene un sesgo para ciertos bucles, o mis resultados son erróneos?

Question

No hace mucho, he estudiado una modificación de Collatz regla donde

$$f(x)= \begin{cases} 3x+5, & \text{if %#%#% is odd} \\ x/2, & \text{if %#%#% is even} \end{casos}$$

mediante la observación de las trayectorias de $x$ con el código que he escrito. El código sería calcular la trayectoria de cada semilla o número de partida $x$ comienzan con $n$ hasta que la trayectoria llegado a un bucle. El código y luego volcar el bucle en una hoja de cálculo y, a continuación, repita el proceso para $n$ hasta algunos límite definido para $1$ alcanzado. La hoja de cálculo resultante contiene cada número de partida y el de los bucles de cada uno de esos números terminó en. Yo no registro el original trayectorias en la hoja de cálculo.

En este Documento de Google, he creado gráficos circulares para el tamaño de la muestra 100, 1,000, 10,000, 100.000 y 1.000.000 de.

Los resultados fueron hechas por la definición de algunos del tamaño de la muestra hasta cierto número, la clasificación de todos los números basado en lo que el bucle de sus trayectorias entró, y luego la creación de las proporciones de esas relaciones.

Aquí hay un enlace a los datos brutos mi código generado:

https://drive.google.com/drive/folders/0BzfYa_--3heeNkVpd1NPd090aDA?usp=sharing

(nota: la Visualización de los 10.000 del tamaño de la muestra funcionado bien para mí, sin embargo, necesita descargar el tamaño de la muestra de 100.000 y 1.000.000 para verlos)

Los resultados muestran los porcentajes varían bastante de una muestra a otra, sin embargo en el esquema general de las cosas de los datos parece ser un poco coherentes. Por ejemplo, mis datos muestra el 19 de bucle es el final de aproximadamente la mitad de las trayectorias de los números en las muestras. Sólo un porcentaje nunca cambió de muestra a muestra, como era de esperar, la 20-10-5 bucle consistió en 1/5 de todos los valores evaluados.

Yo estoy seguro de si este "bucle de sesgo" he observado es consecuencia, por depender de un tamaño de la muestra para empezar, humano/código de error, o si hay un matemático explicación de lo que hace que ciertos bucles más populares que otros. Tengo un par de ideas de por qué algunas sesgo se produce, sin embargo no estoy seguro de en ellos, sobre todo porque mis ideas dependen en gran medida de la especulación no sé cómo demostrar formalmente.

EDIT: Aquí están los aros en orden de aparición:

• [1, 8, 4, 2, 1]
• [19, 62, 31, 98, 49, 152, 76, 38, 19]
• [5, 20, 10, 5]
• [23, 74, 37, 116, 58, 29, 92, 46, 23]
• [187, 566, 283, 854, 427, 1286, 643, 1934, 967, 2906, 1453, 4364, 2182, 1091, 3278, 1639, 4922, 2461, 7388, 3694, 1847, 5546, 2773, 8324, 4162, 2081, 6248, 3124, 1562, 781, 2348, 1174, 587, 1766, 883, 2654, 1327, 3986, 1993, 5984, 2992, 1496, 748, 374, 187]
• [347, 1046, 523, 1574, 787, 2366, 1183, 3554, 1777, 5336, 2668, 1334, 667, 2006, 1003, 3014, 1507, 4526, 2263, 6794, 3397, 10196, 5098, 2549, 7652, 3826, 1913, 5744, 2872, 1436, 718, 359, 1082, 541, 1628, 814, 407, 1226, 613, 1844, 922, 461, 1388, 694, 347]

EDIT 2:

Estoy de acuerdo en que los números más pequeños pueden ser responsables de la distorsión de los datos. Por lo tanto, he elegido el tamaño de la muestra de 100.000 a 1.000.000 de poner a prueba esta teoría. He subido los resultados para la original de Google Doc con el resto de los gráficos circulares.

Me sorprendió encontrar, pues el mismo gráfico. Las proporciones fueron ligeramente diferentes, como de costumbre, pero aparte de eso yo estoy seguro de que a la conclusión de si esta prueba desmiente la hipótesis o recorre el pequeño número de problema. Pude probar diferentes tamaños de muestra, sin embargo, yo no sé si eso es una buena idea o no.

Para proporcionar alguna información sobre lo que creo que está pasando, voy a mostrar una versión digital de algunas notas que he esbozado y explicar donde mis especulaciones vino.

En Mayo, hice algunos bocetos de los árboles y de hecho algunas especulaciones acerca de lo que he observado. Supuse que si un bucle había una sucursal o una cola procedentes de la original, incluso los números en el bucle, el bucle se podría conectar a más números. Yo también supone más pequeño de los múltiplos (si $n+1$ es impar, entonces un múltiplo es $n$ donde $n$ es cualquier valor) de ramificación a múltiplos de tres "restringido", el tamaño de los bucles.

Por supuesto, ninguna de estas afirmaciones son objetivo, y mucho menos demostrable. Quería compartir con ellos en caso de que hubiera cualquier interesantes patrones matemáticos que ocurren o si esta información arrojar luz sobre cualquier cosa...

Aquí es una versión digital de mis bocetos.

Nota: los árboles son construidos usando la inversa de Collatz método" o "$n*2^a$, o en este caso, una versión adaptada de ese método. Dividir $a$ 2, vaya a un número de la izquierda. Para multiplicar ${(n-1)}/{3}$ por 3 y se añaden 5, encontrar la parte inferior de la "T", que apunta al siguiente número par.

Advertencia: le mostré a un amigo y el árbol de croquis confundido. Si usted encuentra este boceto confuso, hágamelo saber y voy a volver a dibujar todo con flechas en su lugar.

Clave:

• Incluso si el número de sucursales, Que tendrá una "T" por encima de él. El primer número impar en la "T" es la resultante de número impar después de aplicar el $n$. Los siguientes números son múltiplos del número impar. (ex. En el 19 de bucle, de 38 años tendrá un "T" sobre él. 11 el resultado es un número impar, y los números después del 11 de se $n$, ${(n-5)}/{3}$, $11*2^1$, ...
• Números azules son miembros de un bucle.
• Los números rojos seguido por un "no" signo son múltiplos de 3.
• Púrpura "T"s conecte el bucle.
• Verde "T"s enfatizar el extra de "cola" o de la rama.
• Naranja "T"s enfatizar donde una cola que podría haber sido, pero el número ramificado a un múltiplo de 3 en su lugar.
• Flechas conectar el apartado final del bucle.
• "..." son usados para transmitir números que no se muestra.

Yo códigos de color el dibujo para dibujar la atención a ciertas propiedades. Pensé que sería más fácil de entender.

Answer 1

esto todavía no es una respuesta, solo un comentario para más ilustración

Parte 1 - Tabla de algunas propiedades de la $6$ conoce los ciclos.

actualización - un poco más de exposición y una mesa más larga en mi página de inicio

• Primera columna: $a_\min$ como el elemento más pequeño de un ciclo
• segunda columna: frecuencia relativa del tipo de ciclo, como la cola de una trayectoria. Sólo los números impares $a_1=1$ a $a_1=999 999$ fueron probados.
• Tercera columna: $N$ es la longitud del ciclo (números impares $a_k$ sólo se cuentan)
• Foruth columna: $S$ es la suma de los exponentes $A_k$ (ver abajo) o "número de reducir a la mitad pasos"
• Quinta columna: dejar que el transferfunction se definen entre impar de números de $a \to b$. A continuación,$b = (3a+5)/2^A$. El vector dado es el vector de exponentes $A_k$ de una trayectoria de longitud $N$.
  Para una cierta longitud de $N$ más que un vector puede ser posible - no sólo por la rotación (que da cíclicamente los miembros de un ciclo), pero también, aparte de la pura rotaciones por otras combinaciones de tener el mismo $(N,S)$, lo que da entonces una verdadera diferentes ciclos.

Tabla 3x+5:

a_min   rel freq% N  S  vector of exponents
----------------------------------------
  5     20.0000   1  2  [2]            "trivial cycle"
  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
  1     14.0844   1  3  [3]           because 3*1+r=8=2^3 -> 1

 19     49.6780   3  5  [1, 1, 3]
 29      9.2606   3  5  [2, 1, 2]

187      3.2618  17 27  [1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 5]
347      3.7152  17 27  [1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 2, 2]

Tenga en cuenta que una estructura muy similar ocurre para $3x+7$ e $3x+13$ y etc. problema. Por ejemplo, para las $3x+13$ obtenemos la siguiente tabla

Tabla 3x+13:

  a min   relfreq%  N    S   vector                     
  --------------------------------------------------------------------- 
    13  7.692000    1    2  [2]               "trivial cycle"
  ---------------------------------------------------------- 
     1 47.550000    1    4  [4]               // 3*1 + r = 2^4 -> 1 
   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   - 
   211  3.334000    5    8  [1, 1, 1, 1, 4]   // 2^8 - 3^5 = 13 = r 
   259  3.934000    5    8  [1, 1, 1, 3, 2] 
   227  1.880000    5    8  [1, 1, 1, 2, 3] 
   287  4.380000    5    8  [1, 2, 1, 1, 3]  
   251  1.958000    5    8  [1, 1, 2, 1, 3] 
   283  2.506000    5    8  [1, 1, 2, 2, 2] 
   319  1.424000    5    8  [1, 2, 1, 2, 2] 

   131 25.342000   15   24  [1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 5] 

---

Parte 2 - approching el problema de los diferentes frecuencias relativas

Estoy mirando hacia atrás-árbol de partida en el ciclo-el elemento $19$ frente que a partir de la ciclo-el elemento $29$ Aquí la clave de la mayor frecuencia de la ocurrencia de la $19$-ciclo parece ser que el hacia atrás-las transformaciones de la cubierta de los más pequeños (impar) números en comparación con la de la $29$-ciclo - lo que significa, que el menor de los números de transformar a la $19$-ciclo en comparación con el $29$-ciclo de la $(3x+5)/2^A$-mapa. Realmente no puedo formalizar esto de las frecuencias relativas a continuación algunos fija límite superior $N$ en el momento, pero podría dar alguna buena intuición...

La representación de una línea es el siguiente:

a_parent   [vector A]

vector de $A$ es aquí el (infinito) vector de todos los números de $a_k$ bajando a $a_\text{parent}$ por una transformación: $ a_\text{parent}=(3a_k+5)/2^B$ . Por supuesto, cada elemento de $A$ (a excepción de los que son divisibles por $3$) son padres de otro vector $AA$. La primera pareja de estas entradas están documentados, a continuación, i la siguiente línea, sangría por algunos de los más espacios.

He impreso que recursiva de árbol, que tiene también un cíclica subárbol de la recursividad del ciclo de $3$, a una profundidad de a $5$ . Para enfocar el aspecto de que contiene muchos de los pequeños números, omití los padres de más de $1000$ y también sus subárboles aunque esto podría no ser perfectamente correcto, porque pueden tener los mismos padres que asre menor que $1000$ -, pero he dejado esto de lado.

El árbol basado en el ciclo del elemento $19$ tiene muchas más pequeño de los números de las bases de árboles en el ciclo del elemento $29$.

---

mytree(19,5)

 31 [19, 81, 329, 1321, 5289, 21161, "..."]
    19 [11, 49, 201, 809, 3241, 12969, "..."]
        11 [13, 57, 233, 937, 3753, 15017, "..."]
            13 [7, 33, 137, 553, 2217, 8873, "..."]
                7 [3, 17, 73, 297, 1193, 4777, "..."]
                    17 [21, 89, 361, 1449, 5801, 23209, "..."]
                    73 [47, 193, 777, 3113, 12457, 49833, "..."]
                    ... [ ...]
                137 [181, 729, 2921, 11689, 46761, 187049, "..."]
                    181 [119, 481, 1929, 7721, 30889, 123561, "..."]
                    ... [ ...]
                553 [367, 1473, 5897, 23593, 94377, 377513, "..."]
                    367 [243, 977, 3913, 15657, 62633, 250537, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            233 [309, 1241, 4969, 19881, 79529, 318121, "..."]
                ... [ ...]
            937 [623, 2497, 9993, 39977, 159913, 639657, "..."]
                623 [829, 3321, 13289, 53161, 212649, 850601, "..."]
                    829 [551, 2209, 8841, 35369, 141481, 565929, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        49 [31, 129, 521, 2089, 8361, 33449, "..."]
            31 [19, 81, 329, 1321, 5289, 21161, "..."]
                19 [11, 49, 201, 809, 3241, 12969, "..."]
                    11 [13, 57, 233, 937, 3753, 15017, "..."]
                    49 [31, 129, 521, 2089, 8361, 33449, "..."]
                    809 [1077, 4313, 17257, 69033, 276137, 1104553, "..."]
                    ... [ ...]
                329 [437, 1753, 7017, 28073, 112297, 449193, "..."]
                    437 [581, 2329, 9321, 37289, 149161, 596649, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            521 [693, 2777, 11113, 44457, 177833, 711337, "..."]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        809 [1077, 4313, 17257, 69033, 276137, 1104553, "..."]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    329 [437, 1753, 7017, 28073, 112297, 449193, "..."]
        437 [581, 2329, 9321, 37289, 149161, 596649, "..."]
            581 [773, 3097, 12393, 49577, 198313, 793257, "..."]
                773 [1029, 4121, 16489, 65961, 263849, 1055401, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    ... [ ...]

---

mytree(29,5)

 23 [29, 121, 489, 1961, 7849, 31401, "..."]
    29 [37, 153, 617, 2473, 9897, 39593, "..."]
        37 [23, 97, 393, 1577, 6313, 25257, "..."]
            23 [29, 121, 489, 1961, 7849, 31401, "..."]
                29 [37, 153, 617, 2473, 9897, 39593, "..."]
                    37 [23, 97, 393, 1577, 6313, 25257, "..."]
                    617 [821, 3289, 13161, 52649, 210601, 842409, "..."]
                    ... [ ...]
                121 [79, 321, 1289, 5161, 20649, 82601, "..."]
                    79 [51, 209, 841, 3369, 13481, 53929, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            97 [63, 257, 1033, 4137, 16553, 66217, "..."]
                257 [341, 1369, 5481, 21929, 87721, 350889, "..."]
                    341 [453, 1817, 7273, 29097, 116393, 465577, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        617 [821, 3289, 13161, 52649, 210601, 842409, "..."]
            821 [1093, 4377, 17513, 70057, 280233, 1120937, "..."]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    121 [79, 321, 1289, 5161, 20649, 82601, "..."]
        79 [51, 209, 841, 3369, 13481, 53929, "..."]
            209 [277, 1113, 4457, 17833, 71337, 285353, "..."]
                277 [183, 737, 2953, 11817, 47273, 189097, "..."]
                    737 [981, 3929, 15721, 62889, 251561, 1006249, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            841 [559, 2241, 8969, 35881, 143529, 574121, "..."]
                559 [371, 1489, 5961, 23849, 95401, 381609, "..."]
                    371 [493, 1977, 7913, 31657, 126633, 506537, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    ... [ ...]

---

Aún más intuitivo que el árbol es el mismo árbol, pero los valores tomados a $\log_2()$. La progresión en los vectores en, a continuación, casi lineal, y los valores de la $19$-árbol de parecer un poco más densa que la de la $29$-árbol si se selecciona una ventana de valores con un límite inferior y límite superior. Pero no quiero sugerir que esta impresión ya es objetivo, y podría responder a su pregunta!

mytreelog(19,5)

 4.95 [4.25, 6.34, 8.36, 10.4, 12.4, 14.4]
    4.25 [3.46, 5.61, 7.65, 9.66, 11.7, 13.7]
        3.46 [3.70, 5.83, 7.86, 9.87, 11.9, 13.9]
            3.70 [2.81, 5.04, 7.10, 9.11, 11.1, 13.1]
                2.81 [1.58, 4.09, 6.19, 8.21, 10.2, 12.2]
                    4.09 [4.39, 6.48, 8.50, 10.5, 12.5, 14.5]
                    6.19 [5.55, 7.59, 9.60, 11.6, 13.6, 15.6]
                7.10 [7.50, 9.51, 11.5, 13.5, 15.5, 17.5]
                    7.50 [6.89, 8.91, 10.9, 12.9, 14.9, 16.9]
                9.11 [8.52, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5]
                    8.52 [7.92, 9.93, 11.9, 13.9, 15.9, 17.9]
            7.86 [8.27, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3, 18.3]
            9.87 [9.28, 11.3, 13.3, 15.3, 17.3, 19.3]
                9.28 [9.70, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
                    9.70 [9.11, 11.1, 13.1, 15.1, 17.1, 19.1]
        5.61 [4.95, 7.01, 9.03, 11.0, 13.0, 15.0]
            4.95 [4.25, 6.34, 8.36, 10.4, 12.4, 14.4]
                4.25 [3.46, 5.61, 7.65, 9.66, 11.7, 13.7]
                    3.46 [3.70, 5.83, 7.86, 9.87, 11.9, 13.9]
                    5.61 [4.95, 7.01, 9.03, 11.0, 13.0, 15.0]
                    9.66 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
                8.36 [8.77, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
                    8.77 [9.18, 11.2, 13.2, 15.2, 17.2, 19.2]
            9.03 [9.44, 11.4, 13.4, 15.4, 17.4, 19.4]
        9.66 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
    8.36 [8.77, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
        8.77 [9.18, 11.2, 13.2, 15.2, 17.2, 19.2]
            9.18 [9.59, 11.6, 13.6, 15.6, 17.6, 19.6]
                9.59 [10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0, 20.0]

mytreelog(29,5)

 4.52 [4.86, 6.92, 8.93, 10.9, 12.9, 14.9]
    4.86 [5.21, 7.26, 9.27, 11.3, 13.3, 15.3]
        5.21 [4.52, 6.60, 8.62, 10.6, 12.6, 14.6]
            4.52 [4.86, 6.92, 8.93, 10.9, 12.9, 14.9]
                4.86 [5.21, 7.26, 9.27, 11.3, 13.3, 15.3]
                    5.21 [4.52, 6.60, 8.62, 10.6, 12.6, 14.6]
                    9.27 [9.68, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
                6.92 [6.30, 8.33, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3]
                    6.30 [5.67, 7.71, 9.72, 11.7, 13.7, 15.7]
            6.60 [5.98, 8.01, 10.0, 12.0, 14.0, 16.0]
                8.01 [8.41, 10.4, 12.4, 14.4, 16.4, 18.4]
                    8.41 [8.82, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
        9.27 [9.68, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
            9.68 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
    6.92 [6.30, 8.33, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3]
        6.30 [5.67, 7.71, 9.72, 11.7, 13.7, 15.7]
            7.71 [8.11, 10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1]
                8.11 [7.52, 9.53, 11.5, 13.5, 15.5, 17.5]
                    9.53 [9.94, 11.9, 13.9, 15.9, 17.9, 19.9]
            9.72 [9.13, 11.1, 13.1, 15.1, 17.1, 19.1]
                9.13 [8.54, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5]
                    8.54 [8.95, 10.9, 13.0, 15.0, 17.0, 19.0]