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¿Por qué este álgebra cociente es contraíble? (Blackadar 21.4.3)

Me encontré con esta pregunta cuando la lectura de la prueba del Teorema 21.4.3 en Bruce Blackadar, K-teoría de las Álgebras de operadores La pregunta es la siguiente:

Dado $A$, $B$ álgebras de Banach, y un surjective homomorphism $q: A \to B$. Definir $T=\{(f, g): g(0)=q(f(0))\} \subset C_0((-1, 0], A) \oplus C_0([0, 1), B)$. A continuación, $T/C_0((0,1), B)$ es contráctiles.

Sé el álgebra $T$ es un poco como pegado CA y CB a lo largo de 0, pero no sé cómo hace el mod-ing fuera $C_0((0,1), B)$ ayudar a hacer que la cosa contráctiles. Cualquier sugerencia / sugerencia sería muy apreciada!

Para aquellos que están menos familiarizados con el homotopy de álgebra de Banach homomorphism, aquí está la definición [Blackadar 5.2.2]: Dos homomorphisms $\phi, \psi: A \to B$ son homotópica si hay un camino de homomorphisms $w_t: A \to B$ para $0 \leq t \leq 1$, continua en $t$ en la topología de pointwise norma de convergencia, con $w_0=\phi$, $w_1=\psi$. Esto es equivalente a la existencia de un homomorphism $w: A \to C([0, 1], B)$ con $\pi_0 \circ w = \phi$ e $\pi_1 \circ w =\psi$.
Un álgebra $A$ es contráctiles si el mapa de identidad es homotópica a las 0 mapa.

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vicky Puntos 1

Creo que tengo una solución para el problema.

Considerar el mapa: $T \to C_0((0, 1], A)$ por la proyección para el primer componente. Este mapa es claramente un continuo surjective álgebra homomorphism. Núcleo de este mapa es $C_0((0, 1), B)$ y, por tanto, $T / C_0((0,1), B)$ es isomorfo a la imagen ($=C_0((0, 1], A)$) por el Primer Teorema de Isomorfismo de álgebra. Es bien sabido que el cono de álgebra $C_0((0, 1], A)$ es contráctiles.

Esto me recuerda a mis días de colegio cuando comprendí por primera vez que el AJUSTE es una maravillosa herramienta para probar la existencia de algo es isomorfo a un cociente!

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