Cómo demostrarlo $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a^n+b^n}=\operatorname{max}(a,b)$ ?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a^n+b^n}=\operatorname{max}(a,b)$$ con $a,b\ge0$ .

Intenté hacerlo dividiéndolo en dos casos, cuando $a=b$ y $a\gt b$ .

En el caso $a\gt b$ He calculado $a^n$ así: $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a^n \left(1+{b^n\over a^n} \right)} = \lim_{n\to\infty} a\sqrt[n]{1+{b^n\over a^n}} = a\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{1+{b^n\over a^n}}$$

Entonces lo expresé de forma exponencial. $$a\lim_{n\to\infty} \left({1+{b^n\over a^n}}\right)^{1/n}$$

Ahora tengo que demostrar que $\lim_{n\to\infty} \left({1+{b^n\over a^n}}\right)^{1/n}=1$ por lo que todo el límite es igual a a. El problema es que no sé cómo tomar el límite de $\lim_{n\to\infty} \left({1+{b^n\over a^n}}\right)^{1/n}$ Traté de usar el logaritmo natural, pero terminó así: $$\lim_{n\to\infty} \log\left({1+{b^n\over a^n}}\right)^{1/n}=\lim_{n\to\infty} {1\over n} \log\left({1+{b^n\over a^n}}\right)=\lim_{n\to\infty} {1\over n} \lim_{n\to\infty}\log\left({1+{b^n\over a^n}}\right)=0$$ ¿Qué he hecho mal y cómo puedo hacerlo bien?

Answer 1

Supongamos que $a \geq b$ . Si no, reetiquete los números $a \leftrightarrow b$ . Entendido esto, tenemos $a = \max(a,b)$ . Entonces $$a =\sqrt[n]{a^n} \leq \sqrt{a^n+b^n} \leq \sqrt{a^n + a^n} = \sqrt[n]{2} a. $$ Aplicar ahora $\lim_{n \to +\infty}$ en todo, señalando que $\sqrt[n]{2} \to 1$ . Del teorema del apretón se deduce que $$\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n} = a,$$ como quería.

Answer 2

Para su pregunta concreta puede proceder del siguiente modo utilizando

• $\lim_{x\to 0}\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}} = e$ y
• Sea $a>b > 0$ (Para $b= 0$ no hay nada que mostrar). $\Rightarrow 0< q:= \frac{b}{a} < 1 \Rightarrow q^n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$

\begin{eqnarray*} \left({1+{b^n\over a^n}}\right)^{1/n} & = & (1+q^n)^{\frac{1}{n}}\\ & = & \left( \underbrace{(1+q^n)^{\frac{1}{q^n}}}_{\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}e} \right)^{\underbrace{\frac{q^n}{n}}_{\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}0}}\\ & \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} & e^0 = 1 \end{eqnarray*}