Evalúe la integral de Riemann$\int_{a}^{b} e^x dx$ usando las definiciones integrales superior e inferior y los teoremas

Question

Dado que el $\int_{a}^{b} e^x dx$ existe, evaluar mediante el uso de la fórmula $$ 1 + r + r^2 + ... + r^n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}, r \neq 1$$ a calcular ciertas sumas de Riemann.

Como $\int_{a}^{b} e^x dx$ existe denotado $L$, tenemos una suma de Riemann $\sigma$ más de una partición $P$ de % de $[a,b]$ tal que $\forall \epsilon>0$ , hay un $\delta>0$ donde: $$|\sigma - L|<\epsilon , \,\, ||P||<\delta$$

Dada la partición de $P=\{a=x_0, x_1, ..., x_n = b\}$ de % de $[a,b]$ con algunos puntos de $d_1, ..., d_n$ tal que $$x_{j-1} \leq d_j \leq x_j$$ Tenemos la suma de Riemann $$\sigma= \sum_{j=1}^{n} f(d_j) (x_j-x_{j-1}) = \sum_{j=1}^{n} e^{d_j} (x_j-x_{j-1})$$

Como el objetivo es calcular la "certeza" las sumas de Riemann, vamos a evaluar la menor suma de la partición: Como $d$ se fija en el lado izquierdo de cada subinterval para que $d_j-1=x_{j-1} = \{x_0, x_1, ..., x_{n-1}\}$ o $ \{0,1,2,...,n-1\}$ Tenemos $$\sum_{j=1}^{n-1} f(d_{j-1})= e^0 + e^1 ... +e^{n-1} = \frac{1-e^{(n-1)+1}}{1-e^1}$$

la suma menor:

$$s(P)= \sum_{j=1}^{n} e^{d_{j-1}} (x_j-x_{j-1})$$ $$s(P) = (b-a) \frac{1-e^{(n-1)+1}}{1-e^1} $$ $$s(P) = (b-a) \frac{1-e^{n}}{1-e} $$

La evaluación de la parte superior de la suma, $d_j= \{1,2,3, ..., n\}$

$$S(P)= \sum_{j=1}^{n} e^{d_j} (x_j-x_{j-1}) =(b-a) \left[ \frac{1-e^{n+1}}{1-e} -1 \right]= (b-a) \frac{e(1-e^n)}{1-e}$$

Con $m= \inf \{f(d_j):x \in [a,b]\}$ e $M= \sup \{f(d_j):x \in [a,b]\}$,el objetivo es obligado inferior y superior Riennam integrales tales como $$m(b-a) \leq s(P) \leq \underline{\int}_a^b \leq \int_a^b \leq \overline{\int}_a^b \leq S(P) \leq M(b-a)$$ $$e^a(b-a) \leq (b-a) \frac{1-e^{n}}{1-e} \leq \underline{\int}_a^b \leq \int_a^b \leq \overline{\int}_a^b \leq (b-a) \frac{e(1-e^n)}{1-e} \leq e^b(b-a)$$

Esto es hasta ahora lo que he entendido a partir de la evaluación de la integral de Riemann mediante inferior y superior de las integrales. No he visto aún el tema en el límite con la integral. Yo no estoy tan seguro de si voy en la dirección correcta con lo que hice anteriormente. Lo que se necesita hacer para completar este trabajo? Thx de antemano por su respuesta o explicación.

Answer 1

Tome una partición uniforme de$[a,b]$ y considere la suma superior

PS

La integral (ya que se supone que existe) es igual al límite de cualquier suma de Riemann como$$\begin{align}\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n e^{a + (b-a)k/n} &= e^a\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n e^{(b-a)k/n} \\ &= e^a\frac{b-a}{n}\frac{e^{(b-a)/n} - e^{(b-a)(n+1)/n}}{1 - e^{(b-a)/n}} \\ &= e^a e^{(b-a)/n} \frac{b-a}{n}\frac{1 - e^{b-a}}{1 - e^{(b-a)/n}}\\ &= e^{(b-a)/n}\frac{b-a}{n(e^{(b-a)/n}- 1)}(e^b - e^a)\end{align}$ (y$\|P \| \to 0$ para la partición uniforme).

Ya que

PS

tenemos

PS