Problema de la función armónica.

Question

Si H es una función armónica en un disco unitario; Y $H=0$ en $R_1\cup R_2$ Aquí $R_1, R_2$ son radios de $D(0,1)$ . El ángulo entre $R_1$ y $ R_2$ es $r\pi$ aquí $r\in (0,1]$ . Si $r$ es un número irracional entonces es $H$ idénticamente cero en $D(0,1)$ ?

---

Creo que si $r$ es irracional entonces $H\equiv0$ en el disco de la unidad $D$ y el el siguiente lema puede ayudarnos a demostrarlo.

Lema : Si $a,b$ son dos semilíneas que comienzan en el mismo punto $O$ existe $u \not\equiv 0$ es una función armónica que desaparece en $a,b$ si y sólo si existe $r \in \mathbb{Q}$ tal que el ángulo entre a y b es $r\pi.$

Prueba del lema: Utilizando la siguiente propiedad de la función armónica podemos demostrar este lema.

1. Una función armónica que desaparece en un conjunto abierto es idéntica a cero.

2. (Principio de reflexión de Schwarz) Si una función armónica está definida en una vecindad de un segmento de recta contenida en uno de los semiplanos determinados por ese segmento y se continúa a cero en ese segmento, entonces se puede extender armónicamente a la región simétrica por el segmento de recta dado.

Answer 1

Suponiendo que una semilínea sólo tiene que existir dentro del dominio de la función (no estoy seguro de la definición), tenemos la siguiente prueba:

Tenga en cuenta que $R_1$ y $R_2$ son dos semilíneas que parten del mismo punto y cuyo ángulo no es múltiplo racional de $\pi$ y que $H$ es armónico en el disco unitario, que es una vecindad de estos dos segmentos. Por nuestro lema, ninguna función armónica no nula desaparece en $R_1 \cup R_2$ . Concluimos que $H$ debe ser idéntico a cero.

Answer 2

El Principio de Máximo y Mínimo de las funciones armónicas implica que la respuesta de su pregunta es positiva.