Recientemente me quedé atascado en la evaluación de la siguiente integral,$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/a}\ln\left(1 + be^{-cx^2}\right)dx$$ where $ a> 0$, $ b> 0 $. No sé si hay una sustitución efectiva para usar.
Respuesta
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La primera asume que el $c > 0$. Simplemente conectando la expansión de la serie
$$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, \quad |x| < 1$$
y la integración de término por término, tenemos
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/una} \log ( 1 + b e^{-c x^{2}} ) \, dx = \sqrt{a \pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{acn + 1}} b^{n}, $$
lo que es válido para $a, c > 0$ e $|b| < 1$. Por supuesto, el lado izquierdo se extiende holomorphically para cualquier compleja $b$ evitando el corte de $(-\infty, -1)$.
Para $c < 0$, el comportamiento cambia por completo. Para $b > 1$, podemos escribir
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/una} \log ( 1 + b e^{-cx^{2}} ) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/una} \left\{ |c|x^{2} + \log b + \log ( b^{-1} e^{-|c|x^{2}} + 1 ) \right\} \, dx. $$
La aplicación de una técnica similar,
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/una} \log ( 1 + b e^{-cx^{2}} ) \, dx = \sqrt{a\pi} \left( \frac {|c|}{2} + \log b + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{a|c|n + 1}} b^{-n} \right). $$
Edit. En realidad, podemos suponer $a = 1$ tras la aplicación de la sustitución de $x \mapsto \sqrt{a} x$ y la absorción de la $\sqrt{a}$ a $c$. Entonces tenemos las siguientes formal de expansión de la serie con respecto a $c$:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \log ( 1 + b e^{-cx^{2}} ) \, dx = -\pi \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\operatorname{Li}_{1-k}(-b)}{k!\Gamma\left(\frac{1}{2}-k\right)} c^{k} \quad \text{as } c \to 0. $$
Esta serie asintótica en el sentido de que se aparta de cualquier $c \neq 0$, pero para cualquier $n$ su primer finito $n$ términos da una aproximación de la integral con un error de $O(c^{n+1})$.
