Dejemos que $V \in C^1(\mathbb{R}^d)$ y que $S$ denotan el conjunto de soluciones del problema $$ \ddot{x}+\nabla V(x)=0,\quad x(T)-x(0)=0=\dot{x}(T)- \dot{x}(0). $$ Cuando $d=1, T=2\pi$ y $V(x)=\frac12|x|^2$ está claro que $S$ es el espacio vectorial bidimensional $$ \{\alpha\cos+\beta\sin:\ \alpha,\beta\in \mathbb{R}\} \simeq \mathbb{R}^2. $$ En general $V$ (cuando la EDO es no lineal), hace $S$ ¿tiene algún tipo de estructura múltiple?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sigamos con $d=1$ . Cuando $V(x)=-x^2$ el conjunto $S$ consiste en un punto (la función cero). ¿Tal vez se trate de un colector de dimensión cero?
Introducción de la notación $p=\dot x$ observamos que las trayectorias en $(x,p)$ plano siguen las curvas de nivel de la función $E(x,p)=V(x)+\frac12 p^2$ . En general, algunas de estas curvas de nivel pueden ser cerradas mientras que otras no lo serán. Entre las que son cerradas, las soluciones periódicas correspondientes pueden tener periodo $T$ o algún otro periodo.
La ecuación con $V(x)=\frac12 x^2$ (oscilador armónico) es bastante atípico, ya que todas las soluciones tienen el mismo período. Este no es el caso de la ecuación del péndulo no lineal, para la que $V(x)=-\cos x$ . Aquí está el retrato de fase del péndulo no lineal ( fuente ): 
Si $T$ se encuentra en un cierto rango, existen infinitas soluciones que forman un conjunto discreto, a saber, las trayectorias cerradas alrededor de $(2\pi k,0)$ . Para otros valores de $T$ (demasiado grande, o demasiado pequeño) no hay soluciones no constantes. Por supuesto, siempre tenemos las constantes, $x\equiv 2\pi k$ que son periódicas con cualquier periodo.
Conclusión: no, no hay razón para esperar una estructura múltiple. Es más complicado.
