La relatividad General se combina la geometría diferencial con una estacionaria principio de la acción que da lugar a la gravedad. La acción $S$ es el tiempo definido integral del Lagrangiano $L$, que a su vez es el espacio definido integral de la densidad Lagrangiana $\mathcal{L}$, que a su vez es $\sqrt{|g|}$ veces un escalar a veces llamado el escalar de Lagrange densidad, donde $g$ es el factor determinante del índice de bajar el tensor métrico. (La terminología es un poco confuso, ya $\mathcal{L}$ es un peso de 1 "de escalar densidad", mientras que el SLD es un verdadero escalar, es decir, el peso-$0$.)
Para obtener la relatividad general de empezar con una acción en la cual la gravedad es "apagado", y el escalar de Lagrange de la densidad depende sólo de la cuestión de los campos. Por ejemplo, un universo con un asunto de campo, mínimamente junto real escalar campo $\phi$ masa $M$, tendría $\mathcal{L}=\frac12\sqrt{|g|}(\partial^a\phi\partial_a\phi-(M^2+\xi R)\phi^2)$ por algún parámetro de $\xi\in\Bbb R$. Tenga en cuenta que $R$ se le permite aparecer en este resultado, con lo que la introducción de una dependencia en el tensor métrico y sus dos primeros derivados, y nosotros escala de $\sqrt{|g|}$ al final de todos modos. Vamos a llamar a la no-gravedad de la acción $S_\text{matter}$. De Euler-Lagrange en la ecuación obtenemos mediante la variación con respecto al $g^{ab}$ puede ser escrito como $T_{ab}=0$, donde en términos de funcionales derivados de la tensión-energía tensor $T_{ab}:=\frac{-2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S_\text{matter}}{\delta g^{ab}}$.
A su vez la gravedad, se añade un nuevo plazo a $\mathcal{L}$, es decir, $\dfrac{\sqrt{|g|}}{2\kappa}(R-2\Lambda)$, con $\Lambda$ la constante cosmológica y $\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}$ si el espacio-tiempo es $4$-dimensional. Hemos añadido a la acción de Einstein-Hilbert para los procedimientos. Una bastante larga derivación muestra que, en la $\Lambda=0$ caso $\frac{2}{\sqrt{g}}\frac{\delta S_\text{EH}}{\delta g^{ab}}$ es $\kappa^{-1}$ veces el tensor de Einstein, por lo que la ecuación de movimiento que se obtiene de la variación de $g^{ab}$ es $G_{ab}=\kappa T_{ab}$. De manera más general, obtenemos $G_{ab}+\Lambda g_{ab}=\kappa T_{ab}$. Esta ecuación tiene la geometría en el lado izquierdo y en la mano derecha; en él se explica cómo el espacio le dice a la materia cómo moverse, y de cómo la materia le dice espacio cómo curva. (Se puede interpretar el $\Lambda g_{ab}$ plazo de un material con un movimiento de la mano derecha, pero eso es mejor dejar para otro momento.)
Si $X^{ab}$ es simétrica y divergenceless, y $\xi_b$ es un campo de vectores para que $\nabla_a\xi_b$ es antisimétrica (se dice $\xi_b$ es un Asesinato vector), $$\nabla_a(X^{ab}\xi_b)=X^{ab}\nabla_a\xi_b=0,$$so $X^{ab}\xi_b$ is a conserved current. KVs are notable for providing a vector space of such currents, whose dimension is proportional to the dimension of the vector space of KVs (which is finite, but that's not our topic today). But divergenceless symmetric rank-$2$ tensors are the other ingredient for generating such symmetries, and $G_{ab}$ is one such tensor. But Lovelock proved something interesting: in 4D, it's the only divergenceless rank-2-tensor-valued function of $g_{ab}$ y en la mayoría de sus dos primeras derivadas. Que, en cierta manera, es una alusión a su papel en cualquiera de Lagrange cuenta de cómo la geometría podría engendrar la gravedad. (No trate de ir incluso a derivadas de orden superior en un Lagrangiano de la teoría del campo; las cosas no terminan bien.)
Como un bono adicional, $T_{ab}$ es por tanto también una simétrica divergenceless tensor en la cáscara, debido a $\Lambda$ es el espacio-tiempo constante. Esto significa $T_{ab}\xi^b$ es conservada por cualquier KV $\xi^b$. Esto asegura local de cuatro de conservación del momento.
