Calcula

Question

Calcular $\lim \limits _{n\to \infty} \frac{1}{n^2}\sum_{1\le i < j \le n}^n \cos \left(\frac{i}{n}\right) \cos \left(\frac{j}{n} \right)$ .
Creo que este límite se puede calcular escribiéndolo como una suma de Riemann. Sin embargo, lo que me desconcierta es que hay $2$ índices de suma y no sé cómo encontrar la integral.
Nota: Esto debería poder resolverse sin integrales dobles, ya que proviene de un solo libro de cálculo variable.

Answer 1

Ampliando mi primer comentario, queremos evaluar $$\frac12\left(\left(\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\cos\frac{i}{n}\right]\right)^2-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\cos^2\frac{i}{n}\right]\right)=\frac12\left(\int_0^1\cos xdx\right)^2=\frac12\sin^2 1.$ $

Answer 2

$$ L = \ frac {1} {2} \ left (\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ cos (k / n) \ right) ^ 2- \ frac {1} {2} \ left (\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {n ^ 2} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ cos ^ 2 (k / n) \ right) ..... (1) $$% $$L=\frac{1}{2} \left( \int_{0}^{1} \cos x dx \right)^2 = \frac{\sin^2 1}{2}....(2).$$ el segundo término desaparece debido a$n^2$ en denominador.