Demostrando límite con $\log(n!)$

Question

Estoy tratando de calcular los siguientes límites, pero no sé cómo: $$\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot \sqrt{n}}{\log(n!)}$$ Y la segunda es $$\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n!)}{\log(n)^{\log(n)}}$$

No necesito mostrar una prueba formal, y se puede utilizar cualquier herramienta.

Gracias!

Answer 1

Se puede mostrar fácilmente que $2^n \leq n! \leq n^n$$n \geq 4$. La primera desigualdad es un estándar de la inducción de la prueba, y la segunda desigualdad es sencillo (estás comparando $1 \times 2 \times \dots \times n$$n \times n \times \dots \times n$).

Desde allí, desde la $f(n) = \log n$ es una función creciente, usted tiene que

$$n\log(2) \leq \log(n!) \leq n\log(n)$$

Esto indica que, básicamente, todo lo que usted necesita. Por ejemplo, para el primero:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{3 \sqrt{n}}{n\log n} \leq \lim_{n \to \infty}\frac{3 \sqrt{n}}{\log(n!)} \leq \lim_{n \to \infty} \frac{3 \sqrt{n}}{n \log(2)}. $$

Answer 2

Si utiliza el hecho de que $ (\ln(x!))'= \psi(x+1)$ donde $\psi(x)$ es la función digamma, y de l'hospital de la regla, entonces el primer límite puede ser evaluada directamente

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot \sqrt{n}}{\log(n!)}=\lim_{n \to \infty} \frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{n}\psi(n+1)}=0 \,,$$

donde el hecho de que $$ \lim_{n\to \infty} \psi(n+1)=\infty \,, $$

ha sido utilizado.

Para el segundo límite, recordando la asintótica de $\ln(n!)$ $$\ln(n!)=\sum_{k=1}^{n}\ln(k)\sim \int_{1}^{n} \ln(x)dx \sim n\ln(n)-n+1, $$ tenemos $$ \frac{\log(n!)}{\log(n)^{\log(n)}}\sim \frac{n\ln(n)-n+1}{\log(n)^{\log(n)}} \,.$$

Haciendo el cambio de variables $m=\ln(n)$ rendimientos

$$ \frac{\log(n!)}{\log(n)^{\log(n)}}\sim \frac{n\ln(n)-n+1}{\log(n)^{\log(n)}}=\frac{me^m-e^m+1}{m^m} \rightarrow 0 $$

como $m\to \infty,$ desde $m^m>me^m \,\,\, \forall m>4. $

Nota: podemos usar $\ln(n!)\sim n\ln(n)-n+1 $ a probar el primer límite va a $0$.

Answer 3

Stirling aproximación de los rendimientos $$ \log(n!)=\a la izquierda(n+\frac12\right)\left(\log(n)-1\vphantom{\frac12}\right)+\frac12\log(2\pi e)+O\left(\frac1n\right) $$ lo que implica $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n!)}{n\log(n)}=1 $$ Entonces para el primer límite $$ \lim_{n\to\infty}\frac{3\sqrt n}{\log(n!)}=\lim_{n\to\infty}\frac3{\sqrt{n}\log(n)}=0 $$ Para el segundo límite $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n!)}{\log(n)^{\log(n)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n)^{\log(n)}}\stackrel{n\a e^n}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{e^nn}{n^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{n}\right)^n\frac{n}{2^n}=0 $$

Answer 4

Para la primera se puede resolver utilizando stoltz lema

$$\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot \sqrt{n}}{\log(n!)}= \lim _{n\rightarrow \infty} \frac{3\cdot \sqrt{n+1}-3\cdot \sqrt{n}}{\log((n+1)!)-\log n!}=\lim _ {n\rightarrow \infty }\frac{3 }{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\log(n+1))}=0$$

Para la segunda observar puede reescribir el denominador como

$\log(n)^{\log(n)}=e^{\log n\log (\log n)}=n^{\log (\log n)}$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n!)}{\log(n)^{\log(n)}}\leq \lim_{n\to\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n)^{\log(n)}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n^{\log (\log n)-1}}$$ Por lo tanto, $n>e^{e^3} \Rightarrow \log ( \log n)-1>2\Rightarrow n^{\log ( \log n)-1}>n^{2} \Rightarrow \frac{\log(n)}{n^{\log (\log n)-1}} \leq \frac{\log n}{n^2}$

Así que, finalmente, $$\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n!)}{\log(n)^{\log(n)}}\leq \lim _{ n \rightarrow \infty }\frac{\log n}{n^2}=0$$

Answer 5

Comience con el hecho de que $\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k$. Un vistazo a la gráfica de $y=\ln x$ muestra que

$$\sum_{k=1}^n\ln k\ge\int_1^n\ln x~dx=\Big[x\ln x-x\Big]_1^n=n\ln n-n+1\;,$$

así

$$0\le\frac{3\sqrt n}{\ln n!}\le\frac{3\sqrt n}{n\ln n-n+1}<\frac3{(\ln n-1)\sqrt n}\;.$$

Claramente $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac3{(\ln n-1)\sqrt n}=0$, lo $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3\sqrt n}{\ln n!}=0$.

Del mismo modo, $$\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k\le\int_1^{n+1}\ln x~dx=(n+1)\ln(n+1)-n\;,$$

así

$$0\le\frac{\ln n!}{(\ln n)^{\ln n}}\le\frac{(n+1)\ln(n+1)-n}{(\ln n)^{\ln n}}\le\frac{(n+1)\ln(n+1)}{(\ln n)^{\ln n}}\le\frac{(n+1)^2}{(\ln n)^{\ln n}}\le\frac{4n^2}{(\ln n)^{\ln n}}$$ for $n\ge 1$. Y

$$\frac{4n^2}{(\ln n)^{\ln n}}=\frac{4e^{2\ln n}}{(\ln n)^{\ln n}}=4\left(\frac{e^2}{\ln n}\right)^{\ln n}\to 0$$

como $n\to\infty$, por lo que el segundo límite es también $0$.