Transformaciones y grupos de Möbius

Question

Tengo dos preguntas sobre las transformaciones de Möbius y los grupos. En mis apuntes hay dos afirmaciones, que no puedo demostrar/entender por qué se mantienen.

1. El subgrupo de transformaciones de Möbius que mapea el conjunto $\{z_1,z_2,z_3\}$ a sí mismo es isomorfo a $S_3$ el grupo de permutación de tres elementos.

Es evidente que el tamaño de este subgrupo y $S_3$ es el mismo, pero ¿qué isomorfismo de grupo debo utilizar entre ellos?

También,

2. El subgrupo de transformaciones de Möbius para el que $f(z_1)=z_1$ y $f(z_2)=z_2$ es isomorfo a $\Bbb{C}^*$ donde este es el grupo de $\Bbb{C}\setminus \{0\}$ , bajo $\times$ .

Esto me ha confundido mucho, no estoy seguro de cómo debería construir estos isomorfismos.

Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

1. Primero mostramos que el grupo $G$ de las transformaciones de Mobius enviando $\{z_1,z_2,z_3\}$ a $\{z_1,z_2,z_3\}$ es isomorfo a $S_3$ . Dada una biyección $\sigma:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ definir una transformación de Mobius $\varphi_\sigma$ que envía $z_1$ a $z_{\sigma(1)}$ , $z_2$ a $z_{\sigma(2)}$ y $z_3$ a $z_{\sigma(3)}$ . Existe una única transformación como, para cualquier triple de tres puntos distintos en $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ existe una única transformación de Mobius que los lleva a cualquier otro triple de puntos distintos en $\hat{\mathbb{C}}$ . Como referencia, véase Rudin's Real and Complex Analysis p.g. 280. Afirmo $\sigma \mapsto \varphi_\sigma$ es un isomorfismo de grupos. Es sencillo comprobar que se trata de un homomorfismo de grupos y que es inyectivo. Para ver que es sobreyectivo, dado $\varphi: \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$ una transformación de Mobius que envía $\{z_1,z_2,z_3\}$ a sí mismo, definir $\sigma:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ por $\sigma(i) = j$ si $\varphi(i) = j$ . Entonces $\varphi = \varphi_\sigma$ . Esto responde a la pregunta 1.

2. Ahora consideramos la pregunta 2. Consideremos el caso en que $z_1 = 0$ y $z_2 = \infty$ . Si $\varphi(z) = \frac{az + b}{cz + d}$ entonces $\varphi(0) = 0$ y $\varphi(\infty) = \infty$ dar inmediatamente $b = 0$ y $c = 0$ . Así, $\varphi(z) = \frac{a}{d}z$ . Si envía $\lambda \mapsto \varphi_\lambda$ donde $\varphi_\lambda(z) = \lambda z$ entonces este será un isomorfismo de grupos de $\mathbb{C}^\times$ al grupo de transformaciones de Mobius que fijan $0$ y $\infty$ . Para obtener el caso general dejemos $f$ sea una transformación de Mobius que envíe $z_1$ a $0$ y $z_2$ a $\infty$ . Entonces $\varphi \mapsto f \circ \varphi \circ f^{-1}$ da un isomorfismo de grupo a partir del grupo de transformación de Mobius que fija $z_1$ y $z_2$ al grupo de transformaciones de Mobius que fijan $0$ y $\infty$ . Así, el grupo de transformaciones de Mobius que fija $z_1$ y $z_2$ es isomorfo a $\mathbb{C}^\times$ .