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Quiero estudiar sobre los conjuntos F sigma y G delta,¿Puede alguien sugerir un libro para aprenderlos?

Soy estudiante de matemáticas y no sé nada sobre los conjuntos F sigma y G delta.Quiero aprender y entender estos conceptos junto con sus aplicaciones.¿Puede alguien sugerirme un buen libro que me sea útil?

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Véanse las referencias que di en mis dos comentarios a La función es Baire-1 si y sólo si estos conjuntos son $F_\sigma$ .

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tia Puntos 23

La definición básica es que en un espacio topológico $\Omega$ , un $F_{\sigma}$ es una unión contable de conjuntos cerrados y un $G_{\delta}$ es el complemento de un $F_{\sigma}$ conjunto, es decir, una intersección contable de conjuntos cerrados (utilizando De Morgan).

Sólo he encontrado $F_{\sigma}$ y $G_\delta$ conjuntos en la Teoría de la Medida, donde juegan un papel natural, ya que están (casi por definición) contenidos en el Borel $\sigma$ -Álgebra de $\Omega$ (el $\sigma$ -generada por conjuntos abiertos).

La aplicación más interesante que he visto en relación con $F_{\sigma}$ y $G_\delta$ conjuntos es entender la estructura de un conjunto medible de Lebesgue en $\mathbb{R}^d.$ En concreto, existe una proposición que afirma que cualquier conjunto medible de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^d$ es "básicamente" un $F_{\sigma}$ y un $G_\delta$ conjunto. El "básicamente" aquí significa "hasta un conjunto nulo" (un conjunto de medida $0$ ). Este hecho también está relacionado con Los tres principios del análisis real de Littlewood .

Un buen libro para leer sobre las cosas de las que he hablado es Introducción a la teoría de la medida" de Terry Tao .

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Jeff Stokes Puntos 59

Bruckner, Bruckner y Thompson Análisis real es un libro bastante bueno para este tipo de conjuntos: los introducen en el primer capítulo (¡a partir de la página 5!) y proporcionan un buen desglose de cómo se desarrollan $F_{\sigma \delta}, F_{\sigma \delta \sigma}, \ldots$ y las inclusiones, y proporcionan ejercicios estructurados para mejorar su comprensión.

El libro puede resultar bastante útil a lo largo del curso de licenciatura, ya que cubre los espacios métricos, las funciones medibles, la categoría Baire y los espacios de Banach y Hilbert.

Vale la pena señalar, a la luz de la respuesta de otro cartel, que estos conjuntos se utilizan para iluminar las profundidades del Análisis Real, no sólo la teoría de la medida. Forman los fundamentos de los conjuntos de Borel, que cubren casi todos los conjuntos que se encuentran en un curso de grado (porque contienen todos los conjuntos abiertos y cerrados, todas las uniones contables de los mismos y todos los complementos de los mismos). Cuando empiezas a preguntarte si los conjuntos de Borel lo son todo (¡no lo son!) entonces empiezas a descubrir los casos patológicos que te permiten entender adecuadamente algunos de los teoremas de convergencia que aprendes.

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