Pregunta para encontrar el límite de $f'(z)$ [CSIR-Diciembre 2011]

Question

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Mi intento:- (1)Tomar $f(z)=.5$ , así que.., $g(z)= \begin{cases} \frac{.5}{z} & z\neq 0 \\ 0 & z=0 \end{cases} $

Así, puedo eliminar (1) y (2)

Estoy tratando de aplicar Lema de elección de Schwarz para (c), Pero no soy capaz de hacer $|f'(z)|\leq \frac{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}\leq 1$

Por favor, ayúdame.

Answer 1

Toma $f(z)=z^2$ para lo cual $|f'(3/4)|=3/2\ge 1$ . Por lo tanto, (c) es falso.

La opción (d) es verdadera utilizando el teorema de Schwarz Pick,

$|f'(0)|\leq \frac{1-|f(0)|^2}{1-|0|^2}=1-|f(0)|^2\leq 1$

Answer 2

(3) es falsa tomando $f(z)=z^2.$

(4) se deduce del teorema de la integral de Cauchy: $$f'(0)= \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z^2} dz,$$ donde $C$ es un círculo de radio $r < 1$ . Encuadernado $f'(0)$ utilizando el límite para $f$ . Entonces toma $r \to 1^-.$

Answer 3

Dejemos que $$f(z)=f(0)+zf'(0)+\frac{z^2}{2!}f''(0)+ . . .$$

$(1)\qquad$ Desde $f(z)$ es analítica / holomorfa, por lo que de la ecuación anterior tenemos $$f(0)=0, \qquad g(z)= \frac{f(z)}{z}=f'(0)+\frac{z}{2!}f''(0)+ . . .$$ Por lo tanto, $g(z)$ es holomorfo en $D$ . $\qquad$ (Opción $1$ es verdadero)

$(2)\qquad$ $$|g(z)|=|\frac{f(z)}{z}|\le 1 \qquad \forall z \in D$$ (dado que $|f(z)|\le 1$ y $|z|\lt 1$ ). $\qquad$ (Opción $2$ es verdadero)

$(3)\qquad$ Por el lema de Schwarz Pick, $$|f'(z)|\le \frac{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}$$

Dado $$|f(z)|\le 1 \qquad \text{and} \qquad |z|\lt 1$$

Así que $|f'(z)|$ puede o no ser menor o igual a $1\quad \forall z\in D.$$\qquad $ (Opción $3$ no es cierto)

$(4)\qquad$ $$|g(0)|=|f'(0)|\le 1$$ $\qquad$ (Opción $4$ es verdadero)