¿Integrar sin ampliar?

Question

Quiero evaluar $$ \int_0^1 ( 1 - x^2)^{10} dx $$ Una forma de hacerlo es ampliando $(1 - x^2)^{10}$ término por término, pero ¿existe un mejor manera para hacer esto?

Answer 1

Esta respuesta es exactamente lo que el autor de la pregunta NO está pidiendo. Sin embargo, creo que será útil mostrarle que ampliar "término por término" no es tan difícil.

Tenemos

\begin{align} \int_0^1 (1-x^2)^{10}dx &= \int_0^1 \sum_{i=0}^{10} C(10,i)(-x^2)^idx \\ % & = \sum_{i=0}^{10} (-1)^iC(10,i)\int_0^1 x^{2i}dx\\ % &= \sum_{i=0}^{10} \frac{(-1)^iC(10,i)}{2i+1}, \end{align}

donde $$C(n,m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}.$$

Answer 2

Un enfoque alternativo es a través de la función beta . Empezamos por la sustitución en u e intentamos llegar a una forma integral de la función beta:

$$\begin{align*} \int_0^1(1-x^2)^{10}\,\mathrm dx &= \frac{1}{2} \int_0^1 (1-u)^{10}u^{-1/2}\,\mathrm du,\qquad x=\sqrt{u} \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 (1-u)^{11-1}u^{1/2-1}\,\mathrm du\\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma(11)\Gamma(1/2)}{\Gamma(11+1/2)}\\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{10!\sqrt{\pi}}{\frac{22!}{4^{11}\cdot11!}\sqrt{\pi}}\\ &= \frac{262144}{969969}. \end{align*}$$

Answer 3

Similar a la respuesta de dxdydz, dejemos que $x=\sin(t)$ $$\int_0^1 ( 1 - x^2)^{10}\, dx=\int_0^{\frac \pi 2}\cos^{21}(t)\,dt$$ y recuerda que $$\int_0^{\frac \pi 2}\cos^{n}(t)\,dt=\frac{\sqrt{\pi }}2 \frac{ \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{ \Gamma \left(\frac{n+2}{2}\right)}$$

Answer 4

Cuando nos encontramos con este tipo de problema, lo primero que hay que hacer es idear una fórmula de reducción. Busquemos la fórmula de reducción para $\int(k^2 - x^2)^n dx $ .

Utilizando la integración por partes: $u = (k-x^2)^n $ y $dv = dx$ puis $du = n(k^2 - x^2)^{n-1}(-2x)dx $ y $v =x$

Así,

$$\int(k^2 - x^2)^n dx = x(k^2 - x^2)^{n-1} + 2n \int x^2(k^2 - x^2)^{n-1} \\ = x(k^2 - x^2)^{n-1} + 2n \int \bigg[ k^2(k^2 - x^2)^{n-1} - (k^2 - x^2)^{n} \bigg] dx \\ = x(k^2 - x^2)^{n-1} + 2n \int k^2(k^2 - x^2)^{n-1} dx - 2n \int (k^2 - x^2)^{n} dx $$ Desde aquí se puede ver que: $$2n\int(k^2 - x^2)^n dx + \int(k^2 - x^2)^n dx = x(k^2 - x^2)^{n-1} + 2n \int k^2(k^2 - x^2)^{n-1} dx - 2n \int (k^2 - x^2)^{n} dx $$

Así, $$\int(k^2 - x^2)^n dx = \frac{x(k^2 - x^2)^{n-1}}{2n+1} + \frac{2nk^2}{2n+1} \int (k^2 - x^2)^{n-1} dx$$

Para tu problema, $k=1$ y $n=10$ . ¿Puedes seguir desde aquí?