Poderes de una matriz positiva en el límite

Question

Estoy tratando de demostrar un resultado estándar: para una positiva $n \times n$ matriz $A$, de los poderes de la $A$ escala por su líder autovalor $\lambda$ converge a una matriz cuyas columnas son sólo múltiplos escalares de $A$'s principales autovector $\mathbf{v}$. Más precisamente, $$ \lim_{k \rightarrow \infty} \left(\frac{A}{\lambda}\right)^k = \mathbf{v}\mathbf{u},$$ donde $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ son los líderes de la derecha y la izquierda vectores propios de $A$, respectivamente (escala de modo que $\mathbf{u}\mathbf{v} = 1$).

Estas notas dan una agradable compacto de la prueba, se muestra a continuación. (Se cubre el caso más general donde $A$ es primitivo, pero estoy feliz de asumir que es positivo para mis propósitos.)

Estoy atascado en el paso resaltado. Después de haber establecido la existencia de una matriz de $M$ (a) corrige $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$, y (b) aniquila a todos los demás generalizada autovalores de $A$, ¿cómo sabemos $M$ es único? ¿Por qué no hay otro tipo de matrices satisfactorio (a) y (b)?

Yo no sé mucho acerca de vectores propios generalizados. Deduzco que son linealmente independientes, por lo tanto forman una base para $\mathbb{R}^n$. De modo que cada columna de $M$ debe ser una única combinación lineal de $A$'s generalizada derecho vectores propios. ¿Hay algún camino que yo no estoy viendo desde allí a la conclusión de que sólo una matriz puede satisfacer a ambos (a) y (b)?

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Answer 1

De acuerdo con la PF teorema, el polinomio característico de $A$ es en la forma $\chi_A(x)=(x-\lambda)f(x)$ donde $\lambda>0$ y las raíces de $f$ han módulo de $<\lambda$. Por otra parte, hay una (única hasta un factor) vector de $v>0$ s.t. $Av=\lambda v$. Desde $A^T$ es primitivo, hay una (única hasta un factor) vector de $u>0$ s.t. $u^TA=\lambda u^T$. Desde $u^Tv>0$, se puede elegir entre los factores mencionados s.t. $u^Tv=1$.

Hay una base en el formulario de $v,\cdots$ s.t., para que este cambio de base de la matriz $P\in M_n(\mathbb{R})$, $A=Pdiag(\lambda,B_{n-1})P^{-1}$ donde $\chi_B(x)=f(x)$; a continuación, $B$ tiene un radio espectral $\rho(B)<\lambda$, es decir, $\rho(\lambda^{-1}B)=\mu<1$.

Por lo tanto $(\lambda^{-1}A)^k=Pdiag(1,(\lambda^{-1}B)^k)P^{-1}$ tiende, cuando $k\rightarrow\infty$, para el rango de $1$ proyector $M=Pdiag(1,0_{n-1})P^{-1}$; por otra parte, para cada $\epsilon>0$, $||(\lambda^{-1}A)^k-M||=O((\dfrac{\mu+\epsilon}{\lambda})^k)$.

Un proyector es definida únicamente por $im(M)$ e $\ker(M)=(im(M^T))^{\perp}$, que es, por $im(M), im(M^T)$.

Observe que $Mv=\lim_k (\lambda^{-1}A)^kv=v,u^TM=\lim_k u^T(\lambda^{-1}A)^k=u^T$. A continuación, el rango de $1$ proyector $M$ está definida únicamente por $im(M)=span(v),im(M^T)=span(u)$.

Ahora $R=vu^T$ es también un proyector de imagen, $span(v)$ e $im(R^T)=span(u)$. A continuación, $M=vu^T$.