Lugares de interés en las asignaturas de matemáticas

Question

Con el fin de tener una buena vista de toda la matemática paisaje que uno quiera saber un profundo teorema de los principales temas (creo que mi punto de vista es demasiado estrechas por lo que quieran ampliar).

Por ejemplo, en natural de la teoría de números es bueno saber la reciprocidad cuadrática y en el álgebra lineal es bueno saber que la Cayley-Hamilton teorema (dar dos ejemplos).

Entonces, ¿qué es una (por publicar) de profundidad y representante teorema de cada uno de los sujetos que uno puede pasar un par de meses o así que para aprender acerca de? (En la Combinatoria, teoría de grafos, Análisis Real, la Lógica, la Geometría Diferencial, etc.)

Answer 1

La Geometría diferencial: el de Gauss-Bonnet teorema.

Me llevó a un semestre del curso de introducción a la geometría diferencial de la clase y hemos llegado a esta hacia el final del semestre, así que me siento que un par de meses es un marco de tiempo apropiado para este teorema.

Answer 2

En la Teoría Analítica de números, el Teorema de los números Primos es un gran resultado.

Riemann, de 1859 papel, que se perfila un posible enfoque para probar el PNT, motivó una gran cantidad de la investigación que se hace en el Análisis Complejo en el siglo 19.

Answer 3

Podría ser demasiado obvio, pero Gödel los teoremas de incompletitud son sin duda los monumentos, no sólo por su importancia histórica y la "popularidad" fuera de las matemáticas (donde generalmente se coticen en un camino equivocado, en un contexto equivocado, con el fin de reclamar un mal demanda), sino también porque las ideas son en realidad las raíces de la teoría de la Computabilidad y la comprensión tanto de los teoremas y sus conexiones a la computabilidad podría tomar algún tiempo, de hecho (pero no diría que un par de meses...)

En la teoría de la complejidad yo diría que el Cocinero-Levin teorema, que conduce a la totalidad de la teoría de la NP-completitud, es un buen representante. Pero, de nuevo, el teorema de la misma es principalmente técnica, y no muy esclarecedor - es las implicaciones que son importantes y necesitan ser estudiados.

Otro hito principal de la moderna teoría de la complejidad es el PCP teorema (en realidad PCP teoremas - hay muchas versiones). Este es un muy sorprendente y poderoso resultado.

Answer 4

Un buen ejemplo en la teoría Algebraica de números es la solución de la $p=x^2+ny^2$ problema, descrito en detalle en Cox del libro. Mucho como el último teorema de Fermat que tiene sus raíces en el siglo 17 (en realidad, se originó a partir de Fermat...) y es totalmente resueltos sólo mediante algunos de maquinaria pesada de la teoría de los números (aunque no es tan pesado como FLT). Yo diría que es un buen representante para la alimentación y la profundidad del campo que todavía está muy accesible.

Answer 5

En la teoría de la Probabilidad de que me dijo mi profesor, que de las 3 más importantes teoremas son el Teorema del Límite Central, la Ley de los Grandes Números y de la Ley del Logaritmo Iterado.