Encontrar valor propio para un vector de longitud que converge

Question

Si $M$ es un operador lineal en $\mathbb{R}^3$ con valores propios únicos y reales $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$ , de modo que $\exists x \in \mathbb R^3 \setminus \{0\}$ , que cumpla la condición $\lim_{n \to \infty} ||M^n x|| = 0$ . ¿Cuáles son los valores posibles de $\lambda_1$ ?

Answer 1

Que no es tan sencillo de una respuesta como parece.

Si $x$ es lineal múltiple de $\zeta_1$, entonces podemos afirmar que $|\lambda_1|<1$.

De lo contrario, tenemos $x=c_1\zeta_1+c_2\zeta_2+c_3\zeta_3$ y eso significa que $M^nx=c_1\lambda_1^{n}\zeta_2+c_2\lambda_2^{n}\zeta_2+c_3\lambda_3^{n}\zeta_3$, lo que implica todos los $\lambda_i$ debe tener magnitud menos de $1$ a satisfacer la propiedad que para cualquier vector de $x$.