valor máximo y mínimo de$\frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2}$

Question

Si $x,y\in\mathbb{R}$ y $x^2+y^2>0.$, entonces el valor máximo y mínimo de $\displaystyle \frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2}$

Plan

Deje $$K=\frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2}$ $

PS

Ponga $$Kx^2+Kxy+4Ky^2=x^2+y^2\Rightarrow (4K-1)y^2+Kxy+(K-1)x^2=0$ y la ecuación es $y/x=t$

¿Cómo lo soluciono? Ayúdame por favor.

Answer 1

$K=\frac{1+t^2}{1+t+4t^2}$ Para encontrar min y max, establece $K'(t)=0$ o $t^2-6t-1=0$ y resuelve para $t$ . Responda $t=3\pm \sqrt{10}$ llevando a max y min $K=\frac{20\pm 6\sqrt{10}}{80\pm 25\sqrt{10}}$ . o $1.088303688022443$ y $0.245029645310883$

Corregido (error estúpido en la resolución cuadrática).

Answer 2

Deje $v = (x,y)$, $$ A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 4 \end{bmatrix} $$ y definir los Rayleigh cuocient. $$ R_A(v) = \frac{v^T a v}{v^Tv}. $$ Entonces, es claro que $$ \frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2} = \frac{1}{R_A(v)}. $$ Es bien conocido (Álgebra Lineal resultado) que $\operatorname{min}_{v \neq 0} R_A(v) = \lambda_{\operatorname{min}}$ e $\operatorname{max}_{v \neq 0} R_A(v) = \lambda_{\operatorname{max}}$, donde $\lambda_{\operatorname{min}}$ e $\lambda_{\operatorname{max}}$ son los más pequeños y mayores valores propios de $A$, respectivamente.

En este caso, $\lambda_{\operatorname{min}} = \frac{1}{2} \left(5-\sqrt{10}\right)$ e $\lambda_{\operatorname{max}} = \frac{1}{2} \left(5+\sqrt{10}\right)$. Por lo tanto, $$ \min_{x,y\neq 0} \frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2} = \frac{1}{\max_{v\neq 0} R_A(v)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left(5+\sqrt{10}\right)} = \frac{2}{15}(5+\sqrt{10}) $$ y $$ \max_{x,y\neq 0} \frac{x^2+y^2}{x^2+xy+4y^2} = \frac{1}{\min_{v\neq 0} R_A(v)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{10}\right)} = \frac{2}{15}(5-\sqrt{10}). $$

Answer 3

A partir de la restricción $x^2+y^2>0$, obtenemos que $x,y$ no son ambos cero.

Si $x=0$, a continuación, $K={\large{\frac{1}{4}}}$.

Supongamos $x\ne 0$.

Dejando $t={\large{\frac{y}{x}}}$, y después de su enfoque, obtenemos $$(4K-1)t^2+Kt+(K-1)=0$$ que tiene una solución real para $t$ si y sólo $K={\large{\frac{1}{4}}}$ o el discriminante $$K^2-4(4K-1)(K-1)$$ es no negativa.

De forma equivalente, o bien $K={\large{\frac{1}{4}}}$o $$-15K^2+20K-4\ge 0$$ Con la restricción $K\ne{\large{\frac{1}{4}}}$, la desigualdad cuadrática resuelve como $$\frac{10-2\sqrt{10}}{15}\le K\le \frac{10+2\sqrt{10}}{15},\;\;K\ne{\large{\frac{1}{4}}}$$ Tomando nota de que $$\frac{10-2\sqrt{10}}{15}<\frac{1}{4}<\frac{10+2\sqrt{10}}{15}$$ de ello se sigue que

• El valor mínimo de $K$ es ${\large{\frac{10-2\sqrt{10}}{15}}}\approx .2450296455$.$\\[8pt]$
• El valor máximo de $K$ es ${\large{\frac{10+2\sqrt{10}}{15}}}\approx 1.088303688$.