¿Qué tiene que ver este tamiz numérico con pi?

Question

Jugando con los números que me topé con la secuencia que comienza

$1,3,7,13,19,27...$

Buscar en OEIS es $A000960$ , y es también conocido como el Flavio Josefo secuencia. Es generado por tomar todos los enteros positivos y "tamizado" cada otro número, el resto de la lista tiene cada tercer número tamizada, después de que el resto de la lista tiene todo el cuarto número de tamizado, y así ad infinitum.

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13...$

$1,3,5,7,9,11,13,...$

$1,3,7,9,13,...$

$1,3,7,13,...$

$...$

Esta secuencia tiene varias propiedades interesantes, pero lo que llamó mi atención fue un comentario dejado en OEIS afirmando que para cualquier número $n$, la cantidad del número de términos en la secuencia inferior o igual a n es $2\sqrt{\frac{n}{\pi}}+O(n^\frac{1}{6})$ , lo que significaría que la secuencia crece como $\frac{\pi n^2}{4}$

Hay un documento vinculado en la OEIS página de explicar esto, estoy teniendo problemas en la interpretación, principalmente debido al hecho de que está en alemán.

Agradecería cualquier idea de por qué esta secuencia en particular está conectado a $\pi$

OEIS Enlace:https://oeis.org/A000960

Alemán de Papel:http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa85/aa8542.pdf

Answer 1

Para la diversión de ella, me genera los valores de la secuencia de a $n=2000$ e hizo una rápida y sucia de la curva de ajuste a una ley de potencia $y=a n^b$. Los resultados son $$\begin{array}{clclclclc} \text{} & \text{Estimate} & \text{Standard Error} & \text{Confidence Interval} \\ a & 0.78487 & 0.00029 & \{0.78430,0.78543\} \\ b & 2.00009 & 0.00005 & \{1.99999,2.00019\} \\ \end{array}$$ while $\frac \pi 4 \aprox 0.78540$.

Para dar menos peso a gran número, el uso de $$\log(y)=\log(a)+b\log(n)$$ tenemos $$\begin{array}{clclclclc} \text{} & \text{Estimate} & \text{Standard Error} & \text{Confidence Interval} \\ a & 0.78584 & 0.00078 & \{0.78431,0.78737\} \\ b & 1.99990 & 0.00015 & \{1.99960,2.00019\} \\ \end{array}$$

Ahora, para más diversión, vamos a $n=2\times 10^k$; los valores son $$\left( \begin{array}{cc} k & \text{value} \\ 0 & 3 \\ 1 & 307 \\ 2 & 31483 \\ 3 & 3141667 \\ 4 & 314159547 \\ 5 & 31416163627 \\ 6 & 3141592399383 \\ 7 & 314159276364807 \end{array} \right)$$ Muy atractiva, ¿no ?