Imagen de $T:E \rightarrow \alpha E + (1-\alpha) E$ donde $\alpha>1$ .

Question

Fijar un número real $\alpha>1$ y un número entero $n \geq 1$ . Dejemos que $T_\alpha$ sea el mapeo definido en el conjunto $\mathcal{E}$ de subconjuntos convexos cerrados de $\mathbb{R}^n$ por \begin{equation*} T_\alpha(E) = \{\alpha x + (1-\alpha) y, x \in E, y \in E\}. \end{equation*} Está claro que $T_\alpha(E) \in \mathcal{E}$ y $E \subseteq T_\alpha(E)$ para todos $E \in \mathcal{E}$ .

Me interesan las propiedades del operador $T_{\alpha}$ . Mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Existe un nombre estándar para este operador?
2. si $F \in \mathcal{E}$ bajo qué condiciones existe $E \in \mathcal{E}$ tal que $F=T_\alpha(E)$ ?
3. hace $T_\alpha(E)=T_\alpha(E')$ implica $E=E'$ ?

Gracias.

Answer 1

Esto es más bien un comentario extendido por ahora (pero da un buen comienzo, espero). La respuesta a la pregunta 3 es negativa, al menos si consideramos conjuntos cerrados convexos no acotados. Tengo que pensar en el caso de los conjuntos acotados, ¿podría ser entonces la respuesta a la pregunta 3 es positiva? En cuanto a la pregunta 1, dudo que haya un nombre para este caso específico, es decir, con coeficientes $\alpha$ y $-(\alpha-1)$ . En general, se habla de la suma de Minkowski de dos conjuntos $A$ y $B$ definido como $A+B=\{a+b:a\in A, b\in B\}$ . Personalmente también utilizo el término diferencia de Minkowski $A-B=\{a-b:a\in A, b\in B\}$ aunque esto es lo mismo que la suma de Minkowski $A+(-B)$ donde $-B$ es lo contrario de $B$ o menos $B$ es decir $-B=\{-b:b\in B\}$ . He estudiado (pero nunca he llegado a presentar un trabajo) el conjunto $A-A$ pero para el operador en cuestión $$T_\alpha(E) = \{\alpha x + (1-\alpha) y\ ;\ x \in E, y \in E\}$$ Prefiero pensar en ello como la diferencia de Minkowski $$T_\alpha(E) = \alpha E - (\alpha-1)E$$ (donde $\gamma E=\{\gamma x\ ;\ x\in E\}$ ). Obsérvese que, dado que $\alpha>1$ tenemos que $\alpha-1>0$ así que $\alpha E$ y $(\alpha-1)E$ son copias similares de $E$ teniendo la "misma dirección" (con $(\alpha-1)E$ de menor tamaño), y $-(\alpha-1)E$ teniendo "dirección opuesta".

Observe también una forma "gráfica" de pensar en la adición de Minkowski $A+B$ (o la resta $A-B$ de forma similar), funciona en el caso especial de que el origen $0$ pertenece a $B$ . (Una imagen ayudaría pero no la dibujaré por ahora.) Para cada $a\in A$ traducir $B$ para que el origen vaya a $a$ (formalmente la copia traducida es $B+a$ ) y tomar la unión de todas esas copias traducidas. El resultado es $A+B$ . Es instructivo hacer esto con conjuntos en el plano, deslizando $B$ alrededor, guiados por los puntos $a$ en $A$ y ver cuál es el área barrida por estas copias de $B$ El resultado es $A+B$ . Por ejemplo, si $A$ es un triángulo (que contiene el origen) y $B=-A$ (el triángulo opuesto), entonces $A+B=A-A$ es un hexágono (con pares de lados paralelos). Observa cómo (1) $A-A$ es claramente más grande, más grueso y "más redondo" que $A$ y (2) decir $A$ es un triángulo que tiene un lado horizontal (en concreto), entonces la línea horizontal en el vértice opuesto es una línea de apoyo que corta el triángulo en un solo punto, mientras que no hay ninguna línea horizontal (de apoyo o no) que corte el hexágono $A-A$ en un solo punto. Tenga en cuenta también que $A-A$ es simétrica, $A-A=-(A-A)$ .

Por lo tanto, creo que la pregunta 2 puede no tener una respuesta fácil de describir, y me limitaría a enumerar un par de ejemplos, para tener alguna base para una mejor comprensión que espero que llegue.

Si $S$ es cualquier conjunto convexo cerrado que es simétrico respecto al origen, es decir $S=-S$ entonces existe un conjunto similar $P=\gamma S$ (para una adecuada $\gamma$ a elegir a continuación) con $S=T_\alpha(P)=\alpha P - (\alpha-1)P$ . Tenga en cuenta que si $P=-P$ entonces $\alpha P-(\alpha-1)P=\alpha P+(\alpha-1)P$ , por lo que sólo necesitamos $P=-P$ con $S=\alpha P + (\alpha-1)P$ . Tenga en cuenta también que:
Lema. Para cualquier convexo $E$ y cualquier $\gamma$ y $\alpha$ tenemos $\alpha E+\gamma E=(\alpha +\gamma)E$ . La prueba. En efecto, si $z=\alpha x+\gamma y$ para algunos $x,y\in E$ entonces $v=\frac{\alpha}{\alpha+\gamma}x+ \frac{\gamma}{\alpha+\gamma}y\in E$ y $\alpha v+\gamma v=(\alpha +\gamma)v=z$ . En particular, el lema implica que $\alpha P+(\alpha-1)P=(2\alpha-1)P$ . Así que podríamos tomar $P=\frac1{2\alpha-1}S$ entonces $P=-P$ y
$\alpha P-(\alpha-1)P=\alpha P+(\alpha-1)P=$
$=(2\alpha-1)P=(2\alpha-1)\frac1{2\alpha-1}S=S$ .

Lo anterior se generaliza al caso en que $R=t+S$ donde $S=-S$ es decir $R$ es una traslación de un conjunto convexo cerrado simétrico $S$ (por el vector $t\in\Bbb R^n$ ). En este caso, dejemos que $Q=t+P$ donde (como arriba) $P=\frac1{2\alpha-1}S$ . Tenemos:
$T_\alpha(Q)=\alpha Q-(\alpha-1)Q=$
$\alpha(t+P)-(\alpha-1)(t+P)=$
$t+\alpha P-(\alpha-1)P=$
$t+\alpha P+(\alpha-1)P=$
$t+(2\alpha-1)P=$
$t+(2\alpha-1)\frac1{2\alpha-1}S=t+S=R$ .

Obsérvese que de forma similar se podría demostrar que si $F=T_\alpha(E)$ para algún convexo cerrado $F,E$ y si $t+F$ es la traducción de $F$ por un vector $t$ entonces $t+F=T_\alpha(t+E)$ . En efecto, $T_\alpha(t+E)=\alpha(t+E)-(\alpha-1)(t+E)=$
$t+\alpha E-(\alpha-1)E=t+T_\alpha(E)=t+F$ .

Además, si $Y$ es un triángulo en $\Bbb R^2$ entonces no hay ninguna convexa cerrada $E$ con $Y=T_\alpha(E)$ . En general, supongamos que $Y\subset\Bbb R^2$ es un conjunto convexo cerrado y acotado tal que existen dos líneas de apoyo paralelas $l$ y $k$ tal que $l\cap Y$ es un singleton, y $k\cap Y$ contiene un segmento de línea no degenerado. (Recordemos que una recta soporte de un conjunto plano convexo cerrado y acotado es una recta que interseca al conjunto, y tal que el conjunto está contenido en uno de los dos semiplanos cerrados determinados por la recta. Debería haber una generalización para $\Bbb R^n,n\ge3$ , utilizando hiperplanos de apoyo, pero me ceñiré al caso plano, como se ha descrito anteriormente).
Sin pérdida de generalidad (y para facilitar la expresión) supongamos que $l$ y $k$ son horizontales. (Esto podría lograrse utilizando la rotación, que evidentemente está bien que se utilice). Supongamos, por contradicción, que existiera un conjunto cerrado y convexo (y necesariamente acotado) $E$ con $Y=T_\alpha(E)$ .
Caso 1. La línea de soporte horizontal superior de $E$ se cruza con $E$ en un singleton, y la línea de soporte horizontal inferior de $E$ también se cruza con $E$ en un singleton. Entonces es fácil ver que lo mismo se aplica a $\alpha E-(\alpha-1)E$ (es decir, que las líneas horizontales de apoyo superior e inferior de este último conjunto lo intersectan en un solo tono), una contradicción, ya que una de las líneas horizontales de apoyo de $Y$ se cruza con $Y$ en un segmento de línea no degenerado.
Caso 2. Al menos una de las dos líneas horizontales de apoyo de $E$ se cruza con $E$ en un segmento de línea no degenerado. En este caso (ejercicio para el lector) tanto las líneas horizontales de apoyo superiores como las inferiores de $\alpha E-(\alpha-1)E$ intersecan a este último conjunto en segmentos de línea no degenerados, una contradicción, ya que una de las líneas horizontales de apoyo de $Y$ se cruza con $Y$ en un singleton.

Tiendo a creer que la respuesta a la pregunta 3 es sí, para conjuntos convexos cerrados acotados $E,E'$ (pero no he pensado en la prueba y no puedo descartar que haya algún ejemplo... pero, actualización, Oliv publicó una respuesta que efectivamente la respuesta a la pregunta 3 es positiva en el caso acotado).
Para el caso no limitado hay ejemplos fáciles incluso para $n=1$ . Llama a un subconjunto de la recta real de la forma $[a,\infty)$ o $(−\infty,b]$ un rayo (cerrado). Si $E$ y $E'$ son dos rayos cualesquiera, entonces $\Bbb R=T_\alpha(\Bbb R)=T_\alpha(E)=T_\alpha(E')$ Así que $T_\alpha(E)=T_\alpha(E')$ no implica $E=E'$ , y $T_\alpha(\Bbb R)=T_\alpha(E)$ no implica $\Bbb R=E$ .

Lo que sigue no es una respuesta a la pregunta 2, pero da la sensación de que se entiende un poco mejor lo que se puede esperar de una respuesta. Como se ha señalado anteriormente, se podría reescribir $T_\alpha(E)$ como $T_\alpha(E) = \alpha E - (\alpha-1)E$ .
A continuación, utilizando el $\alpha\gamma$ Lemma, se podría reescribir además $T_\alpha(E)$ como
$T_\alpha(E) = (1+\alpha-1)E - (\alpha-1)E=$
$1E+(\alpha-1)E - (\alpha-1)E=E+H$ , donde $H=(\alpha-1)E - (\alpha-1)E$ , y $H$ es simétrica, $H=-H$ . Si $\alpha$ está muy cerca de $1$ (así $\alpha-1$ es positivo pero muy cercano a $0$ ) entonces $H$ es un conjunto simétrico muy pequeño, y $F=E+H$ tiene generalmente "la forma de" $E$ aunque un poco más redondeado. Por otro lado, si $\alpha$ es muy grande, entonces, intuitivamente, $E$ es muy pequeño, casi insignificante, comparado con el gran conjunto $H$ Así que en este caso $F=E+H$ tendería a parecerse a un conjunto simétrico. Esto es un poco impreciso, por supuesto, pero esperamos que contribuya a una mejor comprensión de lo que $F=E+H$ podría parecer. Una caracterización precisa, si es posible, podría basarse en el estudio de conjuntos $E+H$ , donde $E$ es cerrado y convexo, y $H=(\alpha-1)E - (\alpha-1)E$ (con la esperanza de que el estudio de estos conjuntos sea más fácil que trabajar directamente con la definición de $T_\alpha(E)$ o al menos para complementarlo).

Supongamos que $F$ es un conjunto cerrado convexo que no es una traslación de un conjunto cerrado convexo simétrico (es decir, no es de la forma $R=t+S$ donde $S=-S$ ). Entonces una condición necesaria para $F$ sea de la forma $T_\alpha(E)$ para algunos convexos cerrados $E$ es que $F$ sea descomponible, es decir $F=K+L$ donde al menos uno de $K$ y $L$ no es de la forma $\lambda F+t$ para algunos $\lambda\ge0$ y $t\in\Bbb R^n$ . En efecto, $F=E+H$ (donde $H=(\alpha-1)E - (\alpha-1)E$ ), y $H$ es simétrico, mientras que $F$ no es una traslación de un conjunto simétrico, por lo que $H$ no puede ser de la forma $\lambda F+t$ . (Puede ser que $F$ tiene que ser descomponible independientemente de si es una traslación de un conjunto simétrico o no).

Un triángulo en el plano es indecomponible. La mayoría de los conjuntos convexos cerrados (en el sentido de la categoría Baire) son indecomponibles (por lo que no pueden ser de la forma $T_\alpha(E)$ para cualquier convexo cerrado $E$ ). Eso parece sugerir que muy pocos conjuntos $F$ son de la forma $T_\alpha(E)$ . Hay algunos $F=T_\alpha(E)$ que no son una traslación de un conjunto simétrico (por ejemplo, en el plano cuando $E$ es un triángulo equilátero de lado $1$ y $\alpha=2$ para un ejemplo concreto, entonces $E-E$ es un hexágono regular de lado $1$ y $F=E+E-E$ es un hexágono con lados opuestos de longitud $1$ y $2$ .

Parece que hay mucha literatura para estudiar los conjuntos convexos cerrados (in)descomponibles (cuerpos convexos), he encontrado algunas referencias aunque estoy buscando otras mejores (o al menos más).

G. T. Sallee,
Descomposición de Minkowski de conjuntos convexos
Revista de Matemáticas de Israel
Septiembre de 1972, volumen 12, número 3, pp 266-276. https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02790753

Walter Meyer
Politopos indecomponibles
Transacciones de la Sociedad Matemática Americana
Vol. 190 (abr., 1974), pp. 77-86 https://www.jstor.org/stable/1996951?seq=1#page_scan_tab_contents
https://pdfs.semanticscholar.org/828e/4a4fd2a0696bf31be94091402195dee6dae1.pdf

Curso de geometría convexa
Daniel Hug, Wolfgang Weil
Universidad de Karlsruhe
versión revisada 2009/2010
24 de enero de 2011
https://www.fmf.uni-lj.si/~lavric/hug&weil.pdf
(ejercicios 8,9 sección 3.1, p.71)

No me queda claro si habrá una buena caracterización, ya que la respuesta a la pregunta 3 en sí, para los limitados $E$ . Es decir, cada convexo cerrado acotado $E$ produce su propia $F=T_\alpha(E)$ . Hay tantos $F$ 's como $E$ 's. Podría ser interesante describir un procedimiento que, dado cualquier convexo cerrado $F$ produciría una convexidad cerrada $E$ con la propiedad de que $F=T_\alpha(E)$ o bien $F\not=T_\alpha(E')$ para cualquier convexo cerrado $E'$ . Si $F$ es una traslación de un conjunto convexo cerrado simétrico, tal procedimiento fue descrito anteriormente (y siempre produce) $E$ con $F=T_\alpha(E)$ . Pero quizás haya algún procedimiento que siempre produzca algún $E$ y si $F\not=T_\alpha(E)$ entonces sabríamos que no hay $E'$ con $F=T_\alpha(E')$ . Pero todo esto se está volviendo demasiado contemplativo, así que por ahora sólo publicaré esta edición.

Answer 2

Esta es una prueba de que la respuesta a 3 es positiva si $E$ y $E'$ están acotados. Combinado con los contraejemplos de Mirko si $E$ y $E'$ son ilimitadas, esto proporciona la respuesta a la pregunta 3. Todavía me interesan las otras dos preguntas.

Para cualquier conjunto cerrado, convexo y acotado $A$ , dejemos que $h_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea la función de soporte de $A$ definido por $h_A(x)=\max_{a \in A}{a \cdot x}$ .

Tomemos cualquier conjunto cerrado, convexo y acotado $E$ . Tenga en cuenta que \begin{equation*} h_{T_\alpha(E)}(x) =\alpha h_E(x) + (\alpha-1) h_{-E}(x) = \alpha h_E(x) + (\alpha-1) h_{E}(-x). \end{equation*}

De la misma manera, \begin{equation*} h_{T_\alpha(E)}(-x) =\alpha h_E(-x) + (\alpha-1) h_{E}(x). \end{equation*}

Resolver este sistema para eliminar $h_E(-x)$ produce \begin{equation*} \alpha h_{T_\alpha(E)}(-x) - (\alpha-1) h_{T_\alpha(E)}(-x) =(2\alpha-1) h_E(x). \end{equation*}

Así, $T_\alpha(E)=T_\alpha(E')$ implica $h_E(x)=h_{E'}(x)$ para todos $x$ . Por unicidad del conjunto convexo asociado a una función soporte dada $h$ Esto implica $E=E'$ .