"¿Cuántos campos vectoriales son conservadores?

Question

Un campo vectorial $F:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ es conservador si para alguna "función potencial" $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ tenemos $F=\nabla f$ .

Me pregunto intuitivamente "cuántos" campos vectoriales son conservadores. Obviamente, esto puede interpretarse de múltiples maneras, por lo que tengo múltiples preguntas:

• si definimos una medida "uniforme" en el espacio de tales campos vectoriales $\mathcal F$ por ejemplo $n=2$ es el conjunto de campos vectoriales conservativos entonces medidos mayores que $0$ ?

• ¿podemos poner ciertos supuestos no restrictivos, o supuestos "naturales", en $F$ para asegurarse de que son conservadores?

• ¿Con qué frecuencia nos encontramos en la práctica con campos vectoriales no conservadores, por ejemplo, en física?

Answer 1

En $\Bbb R^3$ , $F$ debe satisfacer $\text{curl}\,F = 0$ y, por tanto, se trata de tres condiciones (cerradas) sobre el espacio de los campos vectoriales. En dimensiones superiores, se convierte el campo vectorial $F$ a un $1$ -forma $\omega$ y debe satisfacer $d\omega = 0$ que es de nuevo $\binom n2$ condiciones cerradas. Así que tienes condiciones cerradas, que ciertamente definen submanifolds cerrados (en el espacio de funciones de dimensión infinita). Sin embargo, no estoy seguro de cómo poner una medida en este espacio.

La termodinámica está ciertamente llena de integrales de línea dependientes de la trayectoria. El calor y el trabajo surgen como no exactos $1$ -formas, por ejemplo.