Catalán constante de $K$ puede definirse como $$K = \text{Cl}_2\big(\tfrac{\pi}2\big) = \Im\, \rm{Li}_2\big(e^{\pi i/2}\big)= \sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{(4n+1)^2}-\frac1{(4n+3)^2}\right)=0.91596\dots$$
Parece que tiene un natural cúbicos analógico llamado Gieseking constante de $\kappa$ (o kappa, por analogía), pero al parecer es (no tan conocidos) conocido bajo diferentes nombres,
$$\kappa = \rm{Cl}_2\big(\tfrac{\pi}3\big)=\tfrac32\rm{Cl}_2\big(\tfrac{2\pi}3\big) = \Im\, \rm{Li}_2\big(e^{\pi i/3}\big)= \tfrac32\Im\, \rm{Li}_2\big(e^{2\pi i/3}\big)= 1.01494\dots$$
y el Gieseking colector tiene un volumen de $\kappa = 1.01494\dots$ , mientras que el hiperbólico volumen del nudo complemento de la figura de ocho nudo es $V=2\kappa = 2.029788\dots$. A continuación están algunas de las series y hipergeométrica representaciones de $\kappa$ por diversas personas, entre los que me incluyo,
$$\kappa=\frac{3\sqrt3}4\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{(3n+1)^2}-\frac1{(3n+2)^2}\right)\tag1$$
$$\kappa=\sum_{n=0}^\infty \frac{\binom {2n}n}{(2n+1)^2} \frac1{16^n} = \,_3F_2\big(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12;\,\tfrac32,\tfrac32;\,\tfrac14\big)\tag2$$
$$\pi\,\kappa=\frac32\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\,\binom {2n}n} +2\zeta(3)\tag3$$
$$\kappa=\frac{\sqrt3}{10}\sum_{n=1}^\infty \frac{48^n}{n(2n-1)\binom{2n}{n}\binom{4n}{2n}} = \frac{2\sqrt3}5\,_4F_3\big(\tfrac12,1,1,2;\,\tfrac54,\tfrac32,\tfrac74;\,\tfrac34\big)\tag4$$
$$\kappa=\frac{-1}{12\sqrt3}\sum_{n=1}^\infty \frac{(15n-4)(-27)^n}{n^3\binom{2n}{n}^2\binom{3n}{n}}\tag5$$
$$\kappa=\frac{-1}{10\sqrt3}\sum_{n=1}^\infty \frac{(5n-1)(-144)^n}{n^3\binom{2n}{n}^2\binom{4n}{2n}}\tag6$$
y las integrales,
$$\kappa =-\int_0^{\pi/3}\ln\left(2\sin\frac{x}2\right)dx\tag7$$ $$\kappa =\int_0^{2\pi/3}\ln\left(2\cos\frac{x}2\right)dx\tag8$$ $$\kappa = \sqrt3\int_0^\infty x K_0^3(x) dx\tag9$$ $$\kappa =2\int_0^{1/2}\frac{\arcsin(x)}x dx\tag{10}$$ $$\kappa = \frac35\int_0^{{\pi }/{3}} \frac{x \left({\sqrt{3}-{\sin x}}\right)\, dx}{\sin x \cdot \sqrt{3-2 \sqrt{3} \sin x}}\tag{11}$$
y la participación armónica de los números de $H_n$,
$$\pi\,\kappa = \frac3{10}\sum_{n=1}^\infty \frac{17H_n+H_{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\tag{12}$$
$$8\,\kappa = 9\sqrt3\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{\binom{2n}{n}} +2\pi\,(-2+\ln3)\tag{13}$$
y sus formas equivalentes después de algunas transformaciones. Tenga en cuenta que $K_n(x)$ es la función Bessel modificada de segunda clase. Algunos de estos no han sido probados rigurosamente.
Enlaces relevantes son: (1), (2), (3), (4),(5), (6), (7),(8), (9), (10),(11), (12), (13).
P: ¿Qué otras series, hipergeométrica, integral y representaciones están ahí para Gieseking constante de $\kappa$?
