"Racionalizar" una ecuación

Question

PS

Estoy tratando de encontrar una manera de "racionalizar" la ecuación anterior, lo que significa que debe reescribirse simplemente en términos de potencias numéricas enteras de$$x=\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{q}$,$p$ y$q$. Parece bastante simple pero me he quedado atascado intentando hacerlo. Apreciaría la ayuda de alguien con esto.

Answer 1

Sugerencia: use la identidad de la escuela secundaria:$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.$ $

Answer 2

Siguiendo la sugerencia de Bernard:$$x= \sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{q}$ $$$x(\sqrt[3]{p^2}-\sqrt[3]{pq}+\sqrt[3]{q^2})= p+q$ $$$x((\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{q})^2-3\sqrt[3]{pq})= p+q$ $$x(x^2-3\sqrt[3]{pq})= p+q$$$$x^3-3x\sqrt[3]{pq}= p+q$ $$$3x\sqrt[3]{pq}= x^3-p-q$ $$$27x^3pq= (x^3-p-q)^3$ $

Answer 3

Otra forma (tal vez es la misma que la de Bernard, pero no veo cómo):

$${x\over \sqrt[3]{q}}=1+\sqrt[3]{p\over q}\\$ $$${x^3\over q}=1+{p\over q}+3\sqrt[3]{p\over q}\left(1+\sqrt[3]{p\over q}\right)=1+{p\over q}+3x\sqrt[3]{p\over q^2}$ $

Y puedes continuar desde aquí.