Secuencias exactas en el ejemplo de Mumford

Question

Esta pregunta se refiere a la prueba de la Mumford ejemplo de un Esquema de Hilbert que tiene un no-reducción del componente. Estoy estudiando la prueba dada en el R. Hartshone, "la Deformación de la Teoría", pp 91-94. No entiendo a los siguientes tres hechos.

(a) deje $X\subset \mathbb{P}^{3}$ ser un nonsingular cúbicos de superficie, deje $L$ ser el sexto excepcional de la curva de $X$, e $H$ el hyperplane sección de $X$. Considere la posibilidad de una irreductible de la curva de $C$ en el sistema lineal $|4H+2L|$. A continuación, la secuencia siguiente es exacta:

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 0\longrightarrow \mathcal{S}_{X}\longrightarrow \mathcal{S}_{X}(C) \longrightarrow \mathcal{S}_{C}(C) \longrightarrow 0 $

(b) con la misma notación de (a), la siguiente secuencia exacta de norml haces es exacta:

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0\longrightarrow \mathcal{N}_{C/X}\longrightarrow \mathcal{N}_{C} \longrightarrow \mathcal{N}_{X}|_{C} \longrightarrow 0 $

(c) con la misma notación de (a), la siguiente es la secuencia exacta:

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 0\longrightarrow \mathcal{S}_{X}(2L-C)\longrightarrow \mathcal{S}_{X}(2L) \longrightarrow \mathcal{S}_{C}(2L) \longrightarrow 0 $

No sé si esas preguntas pueden ser escritos en más términos genéricos. Las referencias bibliográficas son también bienvenidos.

Answer 1

La primera y la última sesión provienen de la secuencia que define la estructura de la curva$C$:$$0\to\mathcal I_C\to \mathcal O_X\to\mathcal O_C\to 0,$$ and we use that $ \ mathcal I_C = \ mathcal O_X (-C)$ to get $$0\to\mathcal O_X(-C)\to \mathcal O_X\to\mathcal O_C\to 0.$$ In the first case we twist everything by $ C$ (i.e., do $ - \ otimes \ mathcal O_X (C)$) and in the last case we twist everything by $ 2L $.

Para la secuencia intermedia, aquí hay una pregunta relacionada, con una referencia de EGA para una buena medida.